隨機微分方程入門：由 ODE、Black-Scholes PDE 到 GBM 解析解推導｜Quant Math 第 5 講筆記

2025年8月12日 · 來源頻道：Roman Paolucci · #量化金融 #衍生工具 #期權定價 #隨機微積分

第 5 課・共 14 課

這是 Roman Paolucci 量化金融數學系列按發佈時序的第 5 講，把之前幾講的伊滕引理與伊滕積分正式接通到隨機微分方程 Stochastic Differential Equation（SDE）的求解。講者的路線圖：由常微分方程（ODE）建立直覺 → 偏微分方程（PDE）與 Black-Scholes 方程 → SDE 的思維方式 → 以幾何布朗運動（GBM）為例完整推導解析解。

學習重點

• 微分方程的本質：方程含有導數，作用是「為變化建模」；目標是還原那個描述累積變化的原函數。
• 通解 vs 特解：積分還原會留下未知常數 $C$——無初始條件的是通解（一族曲線），代入初始條件才鎖定特解。
• PDE 與模型的關係：Black-Scholes PDE 背後其實假設了資產遵循某條 SDE；對沖論證令隨機項抵消，所以 PDE 本身不含隨機性。
• SDE 的解析解是「分布」：解不再是給出單一數值的函數，而是刻畫過程隨機性的分布——輸入參數，輸出可能結果的分布。
• GBM 求解套路：對數變換把乘性 SDE 化為線性 SDE（算術布朗運動形式）→ 伊滕引理 → 隨機微積分規則消項 → 兩邊積分 → 指數化還原。

詳細筆記

ODE 直覺：為變化建模，還原函數

微分方程就是含有導數的方程，用途是為某種變化率建模——人口增長、流入河流的水量，以至（確定性情況下的）股價。目標是還原「累積這些變化」的原函數。既然微分與積分互為逆運算，解法自然離不開積分。

講者以 $f(x) = 2x^2 + 1$ 為例（$x$ 當作股價、$f$ 當作期權價格，$f' = 4x$ 即期權價格對股價的瞬時變化率——就是 Delta）：對 $f$ 求導，常數 $+1$ 消失；積分還原只得 $2x^2 + C$，常數無法憑空找回。由此帶出：

• 通解 General Solution：$2x^2 + C$，一族全都正確的拋物線；
• 特解 Particular Solution：需要初始條件。代入 $f(0) = 1$，解出 $C = 1$，還原原函數。

講者提醒：學生常糾結於背誦各種 ODE 形式與解法，但更重要的是理解「建模變化、還原函數」這個統一框架——工具應該令人興奮，因為它們令事情變簡單。

PDE：Black-Scholes 方程與模型的關係

函數若有多於一個輸入（例如期權價格 $V(S, t)$），就以偏導數表示，構成偏微分方程。Black-Scholes 方程是最著名的例子。本講點出兩個關鍵認知：

1. PDE 背後站着一條 SDE：Black-Scholes PDE 其實假設了資產遵循幾何布朗運動這條 SDE，只是對沖論證令隨機項互相抵消，PDE 本身不含隨機性；
2. 消去隨機性的兩條路徑等價：無論用 PDE（對沖掉隨機性）還是用風險中性期望（取平均消去隨機性）求解，所得價格應該一致。在 Black-Scholes 框架有解析解，PDE 也可用有限差分等數值方法求解（詳見第 6 講）。

SDE 的思維方式：解是分布

SDE 與前述對象有本質分別：它處理隨機量——積分是隨機的、微分是隨機的，不能再用傳統微積分的「確定量」思維。因此：

• ODE／PDE 的解析解：給定輸入，輸出一個確定值（例如期權價格）；
• SDE 的解析解：給定參數，輸出可能結果的分布——「還原的函數」刻畫的是過程的隨機性。

在定價框架中，我們假設相關資產遵循某條 SDE：Black-Scholes 框架假設 GBM，Heston 框架假設均值回歸的方差過程——這正是「選擇框架」的含義。

GBM 解析解的完整推導

目標：由 GBM 的 SDE 還原股價過程 $S_t$。GBM 是乘性 SDE——漂移項與擴散項都乘以 $S_t$：

對照之下，算術布朗運動是線性 SDE（各項沒有 $S_t$ 的縮放）：

同參數下兩者路徑形態相似，但 GBM 的乘性令增長幅度遠大。策略：對數變換，把乘性空間化為線性空間。

第一步：對數變換。 定義新過程 $X_t = \ln S_t$。$X$ 是隨機過程的函數，求其微分要用伊滕引理：

第二步：求偏導（簡單微積分）。 $\ln S$ 無顯式時間依賴，$\frac{\partial}{\partial t}\ln S = 0$；$\frac{\partial}{\partial S}\ln S = \frac{1}{S}$；$\frac{\partial^2}{\partial S^2}\ln S = -\frac{1}{S^2}$。

第三步：代入 GBM 並用隨機微積分規則消項。 代入 $dS_t$，並利用 $(dt)^2 \to 0$、$dt\,dW_t \to 0$、$(dW_t)^2 \to dt$（二次變差）：

（$dt^2$ 項與交叉項 $dt\,dW_t$ 皆消去。）於是：

$S_t$ 全部約去——乘性消失，得到線性 SDE（算術布朗運動形式）：

第四步：兩邊積分。 左邊由 $0$ 積到 $t$ 還原為 $X_t - X_0$；右邊漂移項積出 $(\mu - \frac{\sigma^2}{2})t$；布朗積分即布朗增量的累積，$W_0 = 0$：

第五步：指數化回到價格空間。 $X_t = \ln S_t$，兩邊取指數：

由於 $W_t \sim N(0, t)$，$\ln(S_t/S_0)$ 服從正態分布，$S_t$ 服從對數正態分布 Lognormal Distribution——解析解給出的正是「股價在時間 $t$ 的分布」，而非單一價格。注意漂移項中的 $-\frac{\sigma^2}{2}$：這是伊滕修正留下的痕跡，沒有它答案就是錯的。

截圖出自原片（Roman Paolucci，2025）：對數變換後套用伊滕引理，$S_t$ 全部約去，乘性 SDE 化為線性 SDE。

解析解 vs 數值解

與第 3 講的結論呼應：很多 SDE 沒有解析解，只能靠 Euler–Maruyama 等格式離散化模擬。解析解可代入後續方程做解析工作、校準效率高；數值解則是從同一分布抽樣的通用後備。兩者並非對立，而是同一分布的兩種取得方式。（P 測度與 Q 測度下產生價格的分別，講者留待風險中性定價專講。）

截圖出自原片（Roman Paolucci，2025）：相同參數下，乘性的幾何布朗運動增長遠超線性的算術布朗運動。

欣利克的看法

• 「SDE 的解是分布」是本講最重要的一句話。 它把第 1、3 講的反覆鋪墊（微分是隨機的、積分是隨機的）收束成統一圖像：ODE 還原函數，SDE 還原分布。理解這點，GBM 解出對數正態分布就毫不神秘。
• 對數變換是值得背下的技巧。 「乘性 → 線性 → 積分 → 指數化」這條路線在量化金融反覆出現（波動率建模、利率模型都有類似結構），而且是第 13 講布朗運動專題的前置。
• PDE 與 SDE 是同一枚硬幣的兩面。 講者點出 Black-Scholes PDE「背後站着一條 SDE」——對沖消隨機、取期望消隨機，兩條路線殊途同歸。這個認知能把之後所有定價方法（PDE、FFT、Monte Carlo）放進統一框架。
• $-\frac{\sigma^2}{2}$ 是最好的「隨機微積分檢查點」。 凡見到 GBM 的解，第一件事就是看這項在不在——它不在，推導一定用了傳統鏈式法則，結果必然有誤。

名詞解釋

• 隨機微分方程 SDE：含隨機項的微分方程，其解刻畫過程的分布而非單一數值。
• 幾何布朗運動 Geometric Brownian Motion：漂移與擴散項均乘以前值的乘性 SDE，是 Black-Scholes 框架的資產動態假設，解為對數正態分布。
• 布朗運動 Brownian Motion：連續、增量獨立、方差隨時間線性增長的隨機過程。
• 伊滕引理 Ito’s Lemma：隨機微積分的鏈式法則，本講用它完成對數變換的微分。
• Black-Scholes 模型：以 GBM 為基礎的期權定價框架，其 PDE 由對沖論證消去隨機性而得。
• 通解與特解：微分方程還原後含任意常數的解族為通解；代入初始條件鎖定常數後為特解。

常見問題 FAQ

為甚麼要對 GBM 做對數變換？

因為 GBM 的漂移與擴散項都乘以 $S_t$（乘性），無法直接積分。對數變換後 $1/S$ 與 $S$ 恰好約去，方程化為常系數的線性 SDE（算術布朗運動形式），兩邊積分即可求解，最後再取指數還原。

GBM 解中的 $-\frac{\sigma^2}{2}$ 從何而來？

來自伊滕引理的二階修正項：$\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{S^2})\cdot\sigma^2 S^2 = -\frac{\sigma^2}{2}$。根源是布朗運動的二次變差 $(dW_t)^2 \to dt$。若誤用傳統鏈式法則，這項會消失，解就錯了。

所有 SDE 都能這樣解析求解嗎？

不能。GBM 是少數有解析解的 SDE（且要靠對數變換配合）。Heston 等較複雜模型的部分性質有半解析處理（如 FFT），但更一般的 SDE 只能靠 Euler–Maruyama 等數值格式離散化模擬。

原影片

本文整理自以下影片，版權屬原創作者所有，建議配合原片觀看：

來源：https://www.youtube.com/watch?v=qDAeSC40ZJE