Heston 隨機波動率模型與快速傅立葉變換：Carr-Madan FFT 定價全拆解｜Quant Math 第 7 講筆記
第 7 課・共 14 課
目錄
這是 Roman Paolucci 量化金融數學系列第 7 講的筆記，緊接第 6 講的有限差分法。上一講解決了「PDE 沒有解析解怎麼辦」的一般問題，本講針對 Heston 隨機波動率模型給出一條快得多的專用路線：蒙地卡羅模擬在校準場景下太慢，而 Carr-Madan 的快速傅立葉變換 Fast Fourier Transform（FFT）反演技巧，可以在不模擬任何路徑的情況下直接由特徵函數還原期權價格。全講把概率論（特徵函數）、訊號處理（傅立葉變換）與金融工程（風險中性期望）三塊拼圖扣在一起。
學習重點
- Heston 模型的定位：股價仍走乘法型 SDE，但常數波動率 $\sigma$ 換成自身隨機、均值回歸的方差過程 $v_t$，兩個布朗運動以 $\rho$ 相關——能產出與市場一致的報價，但定價 PDE 無閉式解。
- 蒙地卡羅的真正瓶頸不在定價，在校準：單次定價模擬一百萬條路徑無妨，但校準是迭代優化，每改一次參數就要重跑一批路徑，慢得無法實用。
- 傅立葉變換＝時域與頻域的一一映射；離散版（DFT）是電腦上的實際操作，FFT 只是同一變換的快速算法（時間複雜度由 $O(N^2)$ 改善）。
- 特徵函數是概率分佈的傅立葉變換：$\phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}]$，與密度函數一一對應，可自由往返。
- Carr-Madan 的兩個關鍵動作：認購期權價格函數不平方可積、不能直接做傅立葉變換，故先乘阻尼因子 $e^{\alpha k}$；變換後把 Heston 對數股價的特徵函數（已知閉式）代入，再反演回價格。
- 整套流程五步：構造 Heston 特徵函數 → 加阻尼 → 離散化頻率與對數行使價網格 → 逆 FFT → 去阻尼還原，配 put-call parity 得認沽價格。
詳細筆記
由期權收益到期望定價
講者由最基本的觀察開始：期權到期時的收益是股價的已知函數（行使價 100，到期股價 120 則認購收益 20；股價 80 則收益 0），但我們不知道到期股價落在哪裡。面對隨機性，最佳猜測是期望值——於是公平價格寫成一個（經貼現的）風險中性期望。Black-Scholes 框架假設股價服從幾何布朗運動 Geometric Brownian Motion：
$$dS_t = \mu S_t\, dt + \sigma S_t\, dW_t$$在這個框架下產出價格的辦法很多：解 PDE、逼近 PDE（即第 6 講）、模擬路徑取平均（大數定律），甚至直接解 SDE 得出期終分佈再模擬——而且 Black-Scholes 有閉式解，代參數即得價。
問題在於 Black-Scholes 報不出與市場一致的價格：常數波動率假設對應平的隱含波動率曲面，與市場觀察到的偏斜（skew）不符；用它報價會出現內在矛盾、暴露套利風險——在衍生工具這個零和遊戲裡，長期報出可被套利的價格等於持續輸錢。
Heston 模型：讓波動率自己也隨機
Heston 隨機波動率模型保留乘法型股價動態，但把常數 $\sigma$ 換成隨機方差 $v_t$：
$$dS_t = r S_t\, dt + \sqrt{v_t}\, S_t\, dW_t^1$$$$dv_t = \kappa(\theta - v_t)\, dt + \xi \sqrt{v_t}\, dW_t^2$$$$dW_t^1\, dW_t^2 = \rho\, dt$$方差過程是均值回歸的（長期均值 $\theta$、回歸速度 $\kappa$、波動率的波動率 $\xi$），兩個布朗運動以 $\rho$ 相關——這正是捕捉市場偏斜與槓桿效應的來源。
截圖出自原片（Roman Paolucci，2025）：Heston 框架的三條方程，以及「無法如 Black-Scholes 般顯式求解」的問題聲明。
代價是：Heston 的定價 PDE 沒有閉式解。當然可以模擬兩條相關路徑再取平均收益——講者現場演示了——單次定價其實夠快。真正的麻煩在校準 Calibration：把模型參數貼合市場隱含波動率曲面是一個最小化問題，需要迭代調參，而每調一次就要重新模擬一百萬條路徑。這才是「蒙地卡羅太慢」的準確含義，也是 FFT 登場的動機。
傅立葉變換、DFT 與 FFT
講者刻意不糾纏傅立葉分析本身，只保留定價所需的直覺：傅立葉變換 Fourier Transform 把時域訊號一對一映射到頻域：
$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, e^{-i\omega t}\, dt$$電腦沒有連續與無窮，實際操作的是離散傅立葉變換 Discrete Fourier Transform（積分變求和）：
$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n\, e^{-\frac{i 2\pi k n}{N}}$$DFT 的時間複雜度是 $O(N^2)$；快速傅立葉變換 FFT 是同一變換的快速算法，輸入輸出完全相同，只是更快。反向操作由逆變換完成：時域 → 頻域 → 逆變換 → 回到原訊號，絲毫不差。講者以不同周期長度的循環函數示範：頻域圖直接暴露訊號的周期長度（附帶一提，這在時間序列的季節性分析也有應用）。
特徵函數：分佈的傅立葉變換
特徵函數 Characteristic Function 把概率分佈變換到頻域：
$$\phi_X(t) = \mathbb{E}\!\left[e^{itX}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f_X(x)\, dx$$展開期望的積分定義後，它與傅立葉變換在數學上等價（只差符號約定）。其關鍵性質：與隨機變量的分佈一一對應——給我特徵函數，做傅立葉反演就能還原密度函數；任何隨機變量的特徵函數必然存在。講者用骰子（離散，PMF）與常態分佈（連續，PDF 與特徵函數的實部、虛部並排展示）兩個例子示範這種自由往返。
同時講者點出伏筆：開頭的期權定價式本身就是一個期望、一個積分——與特徵函數的結構驚人地相似，這絕非巧合。
Carr-Madan：阻尼因子與反演公式
回到 Heston 框架下的定價問題。認購期權價格為：
$$C(K, T) = e^{-rT}\, \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[\max(S_T - K, 0)\right], \qquad \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[\max(S_T-K,0)\right] = \int_K^{\infty} (S_T - K)\, f_{S_T}(x)\, dx$$這個積分沒有閉式解。能否直接對價格函數做傅立葉變換？不行——標準認購價格函數不是平方可積 Square-Integrable 的（當對數行使價趨向 $-\infty$ 時函數趨於非零常數），不滿足傅立葉變換的必要條件。
Carr-Madan 的巧思是引入阻尼因子 Damping Factor $e^{\alpha k}$（$\alpha > 0$）。記 $k = \ln K$、$s = \ln S_0$，定義阻尼後的認購價格：
$$c_T(k) = e^{\alpha k}\, C_T(k)$$$c_T(k)$ 現在平方可積，可以取傅立葉變換 $\psi_T(v) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{ivk} c_T(k)\, dk$。把定價積分代入、交換雙重積分的次序、算出內層積分並化簡，得到全講的核心等式——阻尼價格的傅立葉變換可以用 Heston 對數股價過程的特徵函數表示：
$$\hat{c}(v) = \frac{e^{-rT}\, \phi_T\!\big(v - i(\alpha + 1)\big)}{\alpha^2 + \alpha - v^2 + i(2\alpha + 1)v}$$這一式之所以神奇：時域裡 $f_{S_T}$ 未知、積分不可解；但在頻域，Heston 對數股價的特徵函數 $\phi_T(u)$ 有已知閉式，等式右邊每一項都定義明確。於是「時域解不了 → 變換到頻域（一切已知）→ 逆變換回時域得到價格」的迴路打通了。講者特別強調：整套方法成立的前提，正是我們手上握有 Heston 的特徵函數；沒有它，逆變換之後仍是一條解不了的式子。
原片給出的 Heston 特徵函數形式為：
$$\phi_T(u) = \exp\!\left(iu(s + rT) + \frac{v_0}{\sigma^2}\left(\frac{1 - e^{-dT}}{1 - g e^{-dT}}\right)(a - \rho\sigma i u - d)\right) \times \exp\!\left(\frac{\theta\kappa}{\sigma^2}\left(2\ln\frac{1 - g e^{-dT}}{1 - g} + \cdots\right)\right)$$其中 $a = \kappa - \rho\sigma i u$，$g = \dfrac{a - \rho\sigma i u - d}{a - \rho\sigma i u + d}$，$d = \sqrt{(\rho\sigma i u - a)^2 + \sigma^2(iu + u^2)}$（原片畫面中第二個指數因子的末項被講者影像遮擋，未能完整核實；標準文獻形式該處為 $(a - \rho\sigma i u - d)T$，動手實作時應以講者 GitHub 筆記本的程式為準）。
Carr-Madan FFT 演算法五步
截圖出自原片（Roman Paolucci，2025）：由 Heston 特徵函數到還原認購價格的完整流程與各步公式。
- 構造 Heston 特徵函數 $\phi_T(u)$：即風險中性概率的傅立葉變換（上式）。
- 加阻尼並套用 Carr-Madan 公式：引入 $e^{\alpha k}$，以特徵函數表達阻尼價格的變換 $\hat{c}(v)$。
- 離散化網格：頻率 $v_j = j\Delta_v$（$j = 0, \dots, N-1$）；對數行使價 $k_m = k_{\min} + m\Delta_k$（$m = 0, \dots, N-1$），且 $\Delta_k \Delta_v = \frac{2\pi}{N}$。
- 逆 FFT：由頻域回到對數行使價域，$c(k_m) = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\sum_{j=0}^{N-1} e^{-i v_j k_m}\, \hat{c}(v_j)\, \Delta_v\, w_j$，其中 $w_j$ 是數值積分權重（講者用 Simpson 權重，並預告另開一講談求積法 quadrature）。
- 去阻尼還原：$C(k_m) = e^{-\alpha k_m} c(k_m)$，由 $K_m = e^{k_m}$ 得各行使價對應的認購價格；認沽價格再以 put-call parity 由認購價推出。
一個要留意的細節：步驟 3 把連續積分換成離散求和，理論上精確的反演因此引入離散化誤差——只要離散連續對象就躲不開，網格越細越接近連續極限。
實作與驗證
講者在 Python 中把 Heston 參數、特徵函數、Simpson 權重與 FFT 調用封裝好（程式於 Quant Guild GitHub 公開），現場運行幾乎即時產出單個期權價格；再產出 80–120 行使價的價格網格與蒙地卡羅結果對照，兩者大致重合。收斂鏈條是：蒙地卡羅 →（路徑增加）FFT 結果 →（網格加密）理論價格。實作難度講者不諱言「相當花時間」，最大工程量在正確實現那條特徵函數。
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欣利克的看法
- FFT 定價解決的是校準速度，不是定價本身。 本講最容易誤讀的一點是「蒙地卡羅太慢」——單次定價它並不慢。真正的場景是交易台要把模型參數貼合整張隱含波動率曲面，優化器每次試參都要重算全網格價格，FFT 一次反演產出整排行使價的優勢才成立。讀者自學時若只做研究性定價，蒙地卡羅反而更易實現、更易除錯（可對照本站有限差分一講，三條路線各有適用面）。
- 特徵函數已知是整棟大廈的地基。 Carr-Madan 的代數技巧（阻尼、換序、反演）適用於任何模型，但只有當模型的對數價格特徵函數有閉式表達（Heston、Black-Scholes、Merton 跳擴散等）時才有效。這解釋了文獻為何偏愛「仿射」類模型——不是因為它們最貼近真實，而是因為它們算得動。
- 阻尼參數 $\alpha$ 與網格間距 $\Delta_k \Delta_v = 2\pi/N$ 都是實作陷阱。 $\alpha$ 影響數值穩定，網格間距互相綁定意味頻率分辨率與行使價覆蓋範圍此消彼長。講者影片略過調參細節，自行重現時這兩處最容易出錯，宜直接對照其開原始碼。
- 資料時效提醒： 影片於 2025 年 8 月上載。Carr-Madan（1999）方法本身屬成熟文獻，內容無時效問題；但 Heston 模型對短期限偏斜（尤其 0DTE）的擬合能力近年受到粗糙波動率模型挑戰，本系列後續的 Volterra 過程一講正是沿這條線發展，可配合閱讀。
名詞解釋
- 期權 Option：賦予持有人以指定價格買賣資產的權利而非義務的衍生合約。
- 認購期權 Call Option：給予持有人以行使價買入資產權利的期權；本講的 FFT 流程以其為定價對象。
- 認沽期權 Put Option：給予持有人以行使價賣出資產權利的期權；本講以 put-call parity 由認購價推算。
- 行使價 Strike Price：期權合約約定的行使價格；Carr-Madan 方法在對數行使價 $k = \ln K$ 上建立網格。
- 波動率 Volatility：資產價格變動幅度的量度；Heston 模型把它提升為隨機過程。
- 均值回歸 Mean Reversion：變量偏離長期均值後傾向回歸的特性；Heston 方差過程的核心結構。
- 無風險利率 Risk-Free Rate：零風險投資的回報率；風險中性定價中股價的漂移項與貼現率。
- 蒙地卡羅模擬 Monte Carlo Simulation：以隨機路徑平均逼近期望的定價方法；本講用作 FFT 結果的對照基準。
- 無套利 No Arbitrage：不存在無風險套戥的假設；報價不一致即暴露套利風險，是放棄 Black-Scholes 的動機。
常見問題 FAQ
為甚麼不能直接對期權價格做傅立葉變換？
因為標準認購價格函數不滿足平方可積這個必要條件——當對數行使價趨向負無窮時，價格趨於一個非零常數而非零，積分不收斂。Carr-Madan 乘上阻尼因子 $e^{\alpha k}$ 人為壓低尾部，令函數平方可積，變換才得以進行；最後再除以同一因子還原價格。
FFT 定價和蒙地卡羅定價哪個好？
取決於用途。需要為整個行使價網格快速報價、或迭代校準模型參數時，FFT 一次反演產出整排價格，速度壓倒性佔優。處理路徑依賴或美式特徵、或模型沒有已知特徵函數時，蒙地卡羅（或第 6 講的 PDE 方法）仍是首選。兩者結果應互相收斂，正好用作交叉驗證。
特徵函數和概率密度函數是甚麼關係？
一一對應。特徵函數 $\phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}]$ 本質是密度函數的傅立葉變換；知道特徵函數，經傅立葉反演可唯一還原密度函數，反之亦然。而且任何隨機變量的特徵函數必然存在（密度函數則未必有簡潔形式），這正是它能充當定價橋樑的原因。
原影片
本文整理自以下影片，版權屬原創作者所有，建議配合原片觀看：