Markovian Lifting 如何解決粗糙波動率難題：由 Rough Heston 到有限維近似｜Quant Math 第 12 講筆記
第 12 課・共 14 課
目錄
這是 Roman Paolucci 量化金融數學系列第 12 講的筆記，處理的是當代波動率建模的前沿課題。2014 年 Gatheral 等人的實證研究指出「波動率是粗糙的」——對數波動率的路徑行為接近 Hurst 指數遠小於 $1/2$ 的分數布朗運動。以 Rough Heston 模型為代表的粗糙波動率 Rough Volatility 模型能極佳地擬合期權偏斜，但代價是過程非馬可夫 Non-Markovian：每走一步都要回看整條歷史路徑，模擬成本以 $N^2$ 增長，更失去仿射結構，無法使用快速傅立葉變換（FFT）等準解析定價工具。本講介紹的 Markovian Lifting 正是破解之法：把冪律核表示為無限個均值回歸過程的疊加，再截斷為有限個，用一組有限的馬可夫狀態變量近似整條路徑依賴。
學習重點
- 馬可夫性質的價值：生成下一步只需當前狀態，模擬高效且保留仿射結構；非馬可夫過程要回看整條路徑，計算上極其昂貴。
- 狀態空間擴張的思想：把「狀態」由單點擴充為多點組合，可以在擴張後的空間裏恢復馬可夫性質——但若直接擴充到整條路徑，便失去簡化意義。
- 冪律核的積分表示：利用 Gamma 函數定義與變量代換，$t^{\alpha-1}$ 可寫成 $x^{-\alpha}e^{-xt}$ 的連續疊加——指數核對應 Ornstein-Uhlenbeck 過程。
- 半群性質是馬可夫性的代數根源：$e^{a+b}=e^a e^b$ 使 OU 過程的增量只依賴當前狀態；冪律核沒有此性質，因此路徑依賴。
- 離散化與幾何網格：以幾何級數 $x_i = r^i$ 取節點處理 $t \to 0$ 時核函數的奇異性，權重 $w_i$ 有閉式解，並可用 Euler 反射公式 $\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha) = \pi/\sin(\pi\alpha)$ 加速計算。
- Lift 後的收穫：無限維 Volterra 過程被 $n$ 個仿射馬可夫過程近似，模擬由 $N^2$ 降至線性，FFT 定價與模型校準重新可行。
詳細筆記
馬可夫性質：由一條布朗路徑說起
講者先用一條布朗運動樣本路徑建立直觀。馬可夫性質 Markov Property 指：生成過程的下一步，只需知道當前狀態，無須回看歷史。以離散形式寫出：
$$P(X_{t+1} = i \mid X_t, X_{t-1}, \dots, X_0) = P(X_{t+1} = i \mid X_t)$$條件中當前狀態之前的全部資訊，對轉移概率毫無影響。這性質在模擬上極有價值：每走一步只需記住一個數字，而且有整套數學工具（求條件期望、解期權價格等）可供使用。
問題在於，近年文獻發現某些本以為可用馬可夫模型近似的對象——典型是波動率——其實用非馬可夫模型刻畫更佳。生成下一步真的需要整條路徑，於是計算出現樽頸，仿射結構亦隨之喪失。
狀態空間擴張：Lift 的幾何直觀
補救思路是擴張狀態空間 Expanding the State Space。如果當前狀態不只是一個點，而是 $X_t$ 與 $X_{t-1}$ 兩點的組合呢？定義複合狀態 $Z_t = (X_t, X_{t-1})$，則：
$$P(Z_{t+1} = i \mid Z_t, Z_{t-1}, \dots, Z_0) = P(Z_{t+1} = i \mid Z_t)$$馬可夫性質在擴張後的空間裏恢復了。但講者隨即指出：若把狀態擴張到整條路徑 $(X_t, X_{t-1}, \dots, X_0)$，這不再是簡化假設——你只是把全部歷史塞進「狀態」裏，計算效率一點也沒有改善。狀態空間亦不限於時間維度：可以加入另一條過程（例如一條均值回歸路徑）作為狀態分量，只要各分量內部保留馬可夫結構。
Markovian Lifting 的目標由此明確：與其任意地向過去擴張，不如尋找一組正交的、各自保持馬可夫性質的過程，以有限維方式近似那段路徑依賴，兼得效率與粗糙動態。
Rough Heston 模型：路徑依賴的元兇
講者寫出 Rough Heston 模型的方差過程：
$$V_t = V_0 + \int_0^t K(t-s)\,\lambda(\theta - V_s)\, ds + \int_0^t K(t-s)\,\nu\sqrt{V_s}\, dW_s$$
注意兩個積分裏的 Volterra 核 $K(t-s)$：它決定過程的自協方差結構，令當前值依賴整段歷史——這正是非馬可夫結構的元兇。粗糙模型選用分數核 Fractional Kernel：
$$K(t) = \frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}, \qquad \alpha = H + \frac{1}{2}, \qquad 0 < H < 1$$其中 $H$ 是 Hurst 指數 Hurst Parameter，$\Gamma$ 是 Gamma 函數。這個冪律形式正是 Gatheral 建議的粗糙動態。講者強調：當然可以不用分數核，但那就失去了推廣的意義。當務之急是把這個核變換成可以近似的形態。
第一步：冪律核的指數積分表示
由 Gamma 函數的定義出發（因 $\alpha < 1$，$1-\alpha > 0$，積分收斂）：
$$\Gamma(1-\alpha) = \int_0^{\infty} u^{-\alpha} e^{-u}\, du$$作代換 $u = xt$（故 $du = t\, dx$，積分限不變）：
$$\Gamma(1-\alpha) = \int_0^{\infty} x^{-\alpha} t^{-\alpha} e^{-xt}\, t\, dx = t^{1-\alpha}\int_0^{\infty} x^{-\alpha} e^{-xt}\, dx$$兩邊同除以 $t^{1-\alpha}\,\Gamma(1-\alpha)$，指數符號翻轉，得到關鍵表示：
$$t^{\alpha-1} = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^{\infty} x^{-\alpha} e^{-xt}\, dx$$冪律動態被改寫為無限多個指數衰減核 $e^{-xt}$ 的疊加——而指數衰減正是 Ornstein-Uhlenbeck 過程 OU Process（均值回歸過程）的核。這就是 Lifting 的基礎：粗糙動態可以用一族馬可夫過程表示。
第二步：半群性質——OU 過程為何是馬可夫的
代數上的原因是指數的半群性質 Semigroup Property：$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$。講者用單個 OU 型過程驗證。定義：
$$U_i(t) = \int_0^t e^{-x_i(t-s)}\, dZ_s$$考察它在 $t + \Delta t$ 的值：把積分拆為 $0$ 至 $t$ 與 $t$ 至 $t+\Delta t$ 兩段，並對第一段應用半群性質分解 $e^{-x_i(t+\Delta t - s)} = e^{-x_i \Delta t} \cdot e^{-x_i(t-s)}$。第一個因子不含 $s$，可提出積分之外，而剩下的積分正是 $U_i(t)$ 本身：
$$U_i(t + \Delta t) = e^{-x_i \Delta t}\, U_i(t) + \int_t^{t+\Delta t} e^{-x_i(t+\Delta t-s)}\, dZ_s$$增量只依賴當前狀態 $U_i(t)$ 與一個新的隨機衝擊——無須回看 $0$ 至 $t$ 的整條路徑。這就是馬可夫結構。反觀冪律核：$(t + \Delta t - s)^{\alpha-1} \neq (\Delta t)^{\alpha-1},(t-s)^{\alpha-1}$，半群性質不成立，增量必然依賴整段歷史。兩相對照，指數表示的價值一目了然。
第三步：離散化核函數
回到核函數。代入新表示，並記常數 $c_\alpha = \dfrac{1}{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(1-\alpha)}$：
$$K(t) = \frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)} = c_\alpha \int_0^{\infty} x^{-\alpha} e^{-xt}\, dx$$講者順帶給出一個實用技巧——Euler 反射公式 Euler’s Reflection Formula：
$$\frac{1}{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(1-\alpha)} = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi}$$數值計算上比直接求兩個 Gamma 函數更高效。
把積分切成 $n$ 個區間 $[x_{i-1}, x_i]$ 求和近似，並在每個區間內把 $e^{-xt}$ 近似為 $e^{-x_i t}$（提出積分之外）。剩下的 $\int x^{-\alpha}dx$ 有閉式原函數 $\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}$，於是：
$$K(t) \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{c_\alpha}{1-\alpha}\left[x_i^{1-\alpha} - x_{i-1}^{1-\alpha}\right] e^{-x_i t} = \sum_{i=1}^{n} w_i\, e^{-x_i t}$$其中權重 $w_i = \dfrac{c_\alpha}{1-\alpha}\left(x_i^{1-\alpha} - x_{i-1}^{1-\alpha}\right)$。
一個敏銳的讀者會發現問題：$\lim_{t \to 0} K(t) = \infty$，核函數在原點有奇異性，對數值模擬構成挑戰。處理方法是讓節點按幾何級數分佈：$x_i = r^i$（$r$ 為某常數）。這意味着部分 OU 過程的回歸速度極快，正好吸收 $t \to 0$ 處的爆發行為。
第四步：Lift 後的 Rough Heston——增量不再回望
把離散核 $K^n(t-s) = \sum_i w_i e^{-x_i(t-s)}$ 代入方差過程的積分。由於積分與求和都是線性算子，可以交換次序：
$$V_t \approx V_0 + \sum_{i=1}^{n} w_i \int_0^t e^{-x_i(t-s)}\, dZ_s = V_0 + \sum_{i=1}^{n} w_i\, U_i(t)$$（此處以擴散項演示；飄移項的處理相同。）對輔助過程 $U_i(t)$ 應用 Ito 公式：
$$dU_i(t) = e^{-x_i(t-t)}\, dZ_t + \left(\int_0^t -x_i\, e^{-x_i(t-s)}\, dZ_s\right) dt = dZ_t - x_i\, U_i(t)\, dt$$第一項的指數歸一，第二項提出 $-x_i$ 後正是 $U_i(t)$ 本身。結果是一個標準 OU 微分方程：增量裏再沒有 $t-s$，再沒有回望路徑起點——只有當前狀態 $U_i(t)$ 與新的布朗增量 $dZ_t$。
Markovian Lifting 的意義與應用
講者總結整個論證的收穫：
- 仿射結構恢復：無限維的 Volterra 過程被 $n$ 個各自仿射的馬可夫過程近似，快速傅立葉變換 FFT 等準解析定價工具重新可用。
- 模擬效率：路徑模擬由 $N^2$ 的二次複雜度降至線性。
- 模型校準：上述兩點合起來，令粗糙模型可以實際校準到流動性期權的偏斜上——這正是業界採用 Lifting 的核心動機。
講者舉了一個實例：他一位前同事最近發表的 Quadratic Rough Heston+ 模型論文，專門處理零到期日（0DTE）期權極陡的偏斜，正是使用本講推導的 Lifting（論文中記作 $J$ 過程的一組正交馬可夫過程）來近似分數核。該模型因額外的 boost 項不能直接用 FFT 求價，但 Lifting 仍令模擬大幅提速——即使沒有準解析解，效率收益依然實在。
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欣利克的看法
- Lifting 是近似，不是免費午餐。 把 $t^{\alpha-1}$ 換成 $n$ 個指數核，在極短與極長期限上必有截斷誤差；節點數 $n$、幾何比率 $r$ 的選擇直接影響擬合質素與計算成本。講者集中講「為何可行」，實作層面的誤差控制（網格設計、$n$ 要取多大）影片未有展開，引用時宜查閱 Abi Jaber 與 El Euch 等原始文獻的收斂分析。
- 「粗糙」是實證主張，模型選擇仍要成本觀念。 Gatheral 2014 年的「volatility is rough」引發整個模型家族的推廣，但粗糙模型的價值在於擬合偏斜——尤其是短限期權——而非預測。這與本站 Quant Theory 課程反覆強調的穩健性原則 呼應：模型愈複雜，愈要問多出的參數是否換來樣本外的解釋力。Lifting 的貢獻正在於把複雜度的計算成本壓低，令「多幾個狀態變量」變得負擔得起。
- 半群性質這一節值得反覆咀嚼。 整個推導的核心其實是一句中學代數：$e^{a+b} = e^a e^b$。馬可夫性、OU 過程、仿射結構、FFT 可解性，全部繫於指數函數這一性質；冪律核缺少它，所以路徑依賴。理解了這一層，再看 Heston 類模型（可對照本系列第 7 講的 Heston 與 FFT 筆記脈絡）與粗糙版本的差異，就不再是背公式，而是看到同一結構的兩種命運。
- 資料時效提醒： 影片於 2026 年 3 月上載。Markovian Lifting 自 2018 年 Abi Jaber–El Euch 的 Volterra Heston 成果起已屬成熟方法，文中提及的 Quadratic Rough Heston+ 則屬新近研究；0DTE 期權建模仍在快速演變，具體模型細節以原始論文為準。
名詞解釋
- 波動率 Volatility：資產回報的分散程度；粗糙波動率模型主張其路徑比分數布朗運動刻畫的更「粗糙」。
- 核函數 Kernel Function：在積分中為歷史值分配權重的函數；Volterra 核 $K(t-s)$ 令過程帶記憶。
- 均值回歸 Mean Reversion：變量偏離長期均值後被拉回的特性；OU 過程是其標準連續時間模型。
- 蒙地卡羅模擬 Monte Carlo Simulation：以大量隨機抽樣路徑估計分佈與價格的數值方法；非馬可夫過程的模擬成本特別高。
- 期權 Option：賦予持有人以指定價格買賣資產之權利的衍生合約；粗糙模型的主要校準對象是期權隱含波動率偏斜。
- 公平價值 Fair Value：在無套利框架下工具的理論價格；仿射結構令公平價值可用 FFT 快速求得。
常見問題 FAQ
為甚麼非馬可夫模型的模擬成本是 $N^2$？
馬可夫過程每走一步只需當前狀態，$N$ 步模擬的工作量與 $N$ 成正比。非馬可夫的 Volterra 型過程每一步都要對整段歷史 $0$ 至當前時刻做卷積積分，第 $k$ 步的計算量與 $k$ 成正比，累計便是 $1+2+\cdots+N \sim N^2/2$。路徑數以萬計時，這個平方項足以令校準變得不切實際——Markovian Lifting 正是把每步的「回看」換成 $n$ 個狀態變量的更新，恢復線性增長。
Markovian Lifting 會改變模型的粗糙性質嗎？
不會在本質上改變，但只是近似。離散核 $\sum_i w_i e^{-x_i t}$ 在中等時間尺度上逼近冪律核 $t^{\alpha-1}$，因此樣本路徑的粗糙程度（由 $H$ 主導）大體保留；誤差集中在極端尺度——$t \to 0$ 的奇異區與 $t \to \infty$ 的尾部，分別受幾何網格的密度與最大節點 $x_n$ 控制。節點愈多、網格設計愈好，近似愈精確，代價是狀態維度上升。
Euler 反射公式在這裏起甚麼作用？
核函數表示中的常數 $c_\alpha = 1/[\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)]$ 需要計算兩個 Gamma 函數。Euler 反射公式 $\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha) = \pi/\sin(\pi\alpha)$ 把這個乘積化為一個三角函數，即 $c_\alpha = \sin(\pi\alpha)/\pi$。對數值實作而言，這避免了 Gamma 函數在極端參數下的精度與速度問題，是講者特別點出的實用技巧。
原影片
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