算術與幾何布朗運動大師班：SDE 求解、分佈與模擬全拆解｜Quant Math 第 13 講筆記
第 13 課・共 14 課
目錄
這是 Roman Paolucci 量化金融數學系列第 13 講的筆記。講者開場有一個精彩比喻：在金融衍生工具定價裏，布朗運動 Brownian Motion 是引擎，但駕駛甚麼車由你選擇——而算術布朗運動 Arithmetic Brownian Motion（ABM）與幾何布朗運動 Geometric Brownian Motion（GBM）是兩部反覆出現的基本型號。本講以 masterclass 形式完整處理這兩個隨機過程：由模擬路徑的視覺直觀出發，逐步進入隨機微分方程（SDE）的結構、求解方法與解的分佈，最後討論大數定律下模擬的漸近收斂。兩者的分別看似只是一個 $S_t$ 因子，卻造成線性與複合增長、可負與不可負、正態與對數正態的根本分歧。
學習重點
- 核心分別只有一個：ABM 是加法動態（增量與當前價格無關），GBM 是乘法動態（增量按當前價格縮放）——正如單利與複利之別。
- 分佈不同：ABM 在任何時點服從正態分佈，可以取負值；GBM 服從對數正態分佈，價格永遠為正。
- ABM 的解：$S_T = S_0 + \mu T + \sigma(W_T - W_0)$，均值 $S_0 + \mu T$、方差 $\sigma^2 T$，兩者皆隨時間線性增長。
- GBM 的解：經對數變換與 Ito 引理化為 ABM 求解，得 $S_T = S_0 e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma W_T}$，$-\frac{1}{2}\sigma^2$ 正是波動率拖累。
- 模擬的本質：隨機過程是按時間索引的隨機變量序列；集合平均 Ensemble Average 隨路徑數增加依大數定律收斂到理論分佈。
詳細筆記
視覺直觀：線性增長與複合增長
講者以 Python 模擬開場：左邊 ABM、右邊 GBM，各畫一批樣本路徑。分別一望即知——ABM 的所有路徑圍繞一條直線趨勢，GBM 的路徑則圍繞一條向上彎曲的曲線。算術即加法：每一步的增長與價格水平無關，如同單利，不是「增長之上的增長」。幾何即乘法：每一步都相對於上一步的價格計算，如同複利——利息再投資，於是出現曲率與凸性。
GBM 的模擬還暴露了另一現象：少數路徑出現極端爆升，「少數人的經歷不是多數人的經歷」。算術平均（圖中綠線）對這些離群路徑敏感；幾何平均（虛線）才反映典型路徑的水平。兩條均值線之間的差距，正是後面推導中會正式出現的波動率拖累 Volatility Drag。
講者強調一個容易遺忘的本質：隨機過程不過是按時間索引的一串隨機變量。每模擬一步，就是從一個分佈抽一次樣，再把結果黏成一條路徑。ABM 每一步從正態分佈 Normal Distribution 抽樣——價格可以為負；GBM 每一步從對數正態分佈 Lognormal Distribution 抽樣——價格不可能為負。後者符合股價不能低於零的現實；但講者提醒，商品價格曾因儲存成本等原因變成負數（如 2020 年前後的原油），那種場合 ABM 反而是更合理的選擇。
兩個分佈還有一個共同特徵：時變。即使參數 $\mu$、$\sigma$ 固定不變，分佈的均值與方差都隨時間縮放——時間愈久，累積的飄移愈多、不確定性愈大，分佈便向右移並拉闊。
增量層面的分別
若不看「由零跳到未來某時點」的大步，只看相鄰一小步的增量 Increment：
- ABM：只要步長固定，每個增量的分佈完全一樣（同一個正態分佈），把增量累加便得到路徑。
- GBM：增量是從分佈抽樣後再按當前價格縮放，所以是一連串不斷平移與縮放的對數正態分佈——時間愈後，步子的潛在幅度愈極端，這正是尾部爆升路徑的來源。
一句話總結：ABM 是加法的、可為負、無複合增長；GBM 是乘法的、不可為負、有複合增長。
ABM 的 SDE 與求解
ABM 的隨機微分方程只有三個部分——左邊是股價的微小變化，右邊分解為飄移 Drift（確定性）與衝擊 Shock（隨機，由布朗運動驅動，按 $\sigma$ 縮放）：
$$dS_t = \mu\, dt + \sigma\, dW_t$$飄移完全確定：$\mu$ 是常數，$dt$ 是微小時間步。衝擊不可預測，一次足夠負的抽樣可以把整個增量拖成負值。求解這條 SDE 只需兩邊由 $0$ 積分至 $T$：
$$S_T - S_0 = \mu T + \sigma\,(W_T - W_0)$$右邊除了布朗增量 Brownian Increment $W_T - W_0$ 之外全部已知：$S_0$ 是今日價格，$\mu$、$\sigma$ 是選定或估計的參數，$T$ 是模擬時限。由定義，布朗增量服從均值零、方差等於時間步的正態分佈：
$$W_T - W_0 \sim \mathcal{N}(0,\, T)$$因此 $S_T$ 是一個經平移與縮放的正態隨機變量。取期望（期望算子線性，增量的期望為零）：
$$\mathbb{E}[S_T] = S_0 + \mu T$$
取方差時，確定性項不影響方差而直接剔除，$\sigma$ 提出後平方：
$$\text{Var}(S_T) = \sigma^2\, \text{Var}(W_T - W_0) = \sigma^2 T$$合起來，ABM 的解是：
$$S_T \sim \mathcal{N}\left(S_0 + \mu T,\; \sigma^2 T\right)$$均值與方差都隨 $T$ 線性增長——時間愈久，價格的分佈愈闊、重心移得愈遠。講者補充一個重要觀念：模型的目的從來不是預測你將走哪條路徑（那是隨機的），而是給出期望——在選定的模型與參數下，對未來的最佳估計。
GBM 的 SDE：乘法動態帶來的積分障礙
GBM 的方程只多了兩個 $S_t$：
$$dS_t = \mu S_t\, dt + \sigma S_t\, dW_t$$飄移項與衝擊項現在都相對於當前價格縮放——這就是複合增長的來源。但若照 ABM 的方法直接積分，馬上碰壁：$S_t$ 本身是要解的未知過程，積分號內不能留着它。需要先把乘法動態化回加法動態——取對數。
定義 $X_t = \ln S_t$。若能解出 $X_t$，取指數便還原 $S_t$。但 $X_t$ 是隨機過程的（時間依賴）函數，求其微分必須用 Ito 引理：
$$dX_t = \frac{\partial f}{\partial t}\, dt + \frac{\partial f}{\partial S_t}\, dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S_t^2}\, (dS_t)^2$$（隨機微積分規則 $dt^2 \to 0$、$dt\,dW_t \to 0$ 令時間二階項與交叉項消失；布朗運動有二次變差，$dW_t^2 \to dt$，否則隨機性無法在連續時間中累積。）
三個偏導數：$f$ 不顯含時間，$\partial f/\partial t = 0$；$\partial f/\partial S_t = 1/S_t$；$\partial^2 f/\partial S_t^2 = -1/S_t^2$。再求 $(dS_t)^2$：把 GBM 動態平方展開，$dt^2$ 項與交叉項按規則消失，只剩：
$$(dS_t)^2 = \sigma^2 S_t^2\, dt$$代入 Ito 展開：
$$dX_t = \frac{1}{S_t}\left(\mu S_t\, dt + \sigma S_t\, dW_t\right) - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{S_t^2}\cdot \sigma^2 S_t^2\, dt = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right) dt + \sigma\, dW_t$$$S_t$ 全部消去——這正是對數變換的魔法：GBM 的對數是一條 ABM，只是「有效飄移」由 $\mu$ 變成 $\mu - \frac{1}{2}\sigma^2$。這個 $-\frac{1}{2}\sigma^2$ 就是開頭模擬中算術平均與幾何平均之差的來源：波動率拖累。
GBM 的解：對數正態分佈
既然化成了 ABM，照方抓藥積分：
$$X_T = X_0 + \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right) T + \sigma\,(W_T - W_0)$$把 $X_t = \ln S_t$ 代回，兩邊取指數（利用 $e^{a+b} = e^a e^b$ 拆分，$e^{\ln S_0} = S_0$）：
$$S_T = S_0\, \exp\left[\left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right) T + \sigma W_T\right]$$
取指數前是正態分佈，取指數後便是對數正態分佈：
$$\ln S_T \sim \mathcal{N}\left(\ln S_0 + \left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right) T,\; \sigma^2 T\right)$$至此我們知道 GBM 股價在任何時點 $T$ 的完整分佈——模擬時無論取一大步還是逐小步累積，都有理論依據。
漸近收斂：大數定律與結構斷裂的警示
有了理論解，模擬的意義是驗證與應用。講者示範集合平均 Ensemble Average：固定一個時點，對所有模擬路徑取橫截面平均；路徑數增加時，依大數定律 Law of Large Numbers，樣本均值、方差以至整個經驗分佈（直方圖）都收斂到理論分佈——ABM 收斂到正態，GBM 收斂到對數正態，且對任何中間時點的橫截面同樣成立。
但講者以一個「第 22 條軍規」式的提醒作結：若已知總體參數，何必模擬？實務上參數要由數據估計（如最大似然法，超出本講範圍）。更根本的警告是：真實市場的數據生成過程不會保持不變——結構斷裂 Structural Breaks 真實存在，背後是會做生意、會產生現金流的公司，不是不變的理論分佈。這正是這些 SDE 更適合用於衍生工具定價、多於預測資產價格走向的原因。
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欣利克的看法
- 「複利 vs 單利」是記住兩個模型的最短鑰匙。 ABM 的飄移是固定的 $\mu\,dt$，GBM 的是 $\mu S_t\,dt$——多一個 $S_t$，期望便由直線變成指數曲線。這與本站 Quant Theory 第 7 講由百分比回報講到複利 的脈絡完全同構：回報的定義方式（簡單回報 vs 對數回報）決定了模型的動態是加法還是乘法，可與對數回報補充講對照閱讀。
- 波動率拖累是「平均回報」與「典型回報」之別，不是筆誤。 $-\frac{1}{2}\sigma^2$ 令對數回報的期望低於算術回報的期望，波動率愈高拖累愈大。實務啟示：高波動資產即使算術期望回報相同，長期複合增長率會更低——這是數學恆等式層面的結論，不構成任何操作建議。
- GBM 是定價模型的起點而非終點。 常數 $\mu$、$\sigma$、正態增量、價格連續——這些假設在真實市場都不嚴格成立（有跳空、有波動率聚集），本系列後面的 Heston、粗糙波動率課題正是逐一放鬆它們。但正如講者在 Black-Scholes 推導課（第 14 講）所言：假設 GBM 的目的不是聲稱市場如此，而是提供一個可處理的定價框架。
- 資料時效提醒： 影片於 2026 年 7 月上載。ABM/GBM 屬教科書級成熟內容，長期有效；講者提及的負油價案例（2020 年）說明模型選擇要配合資產特性，屬歷史事例而非近期市況。
名詞解釋
- 波動率 Volatility：資產回報的分散程度；在 GBM 中同時決定路徑的擴散幅度與波動率拖累的大小。
- 方差 Variance：隨機變量偏離均值的期望平方距離；ABM 與 GBM（對數）的方差皆隨時間線性增長。
- 對數回報 Log Return：價格比值的對數；GBM 的對數回報服從正態分佈，是量化研究的標準選擇。
- 複利效應 Compounding：利息再投資產生的增長之上增長；GBM 的乘法動態正是連續複利的隨機版本。
- 蒙地卡羅模擬 Monte Carlo Simulation：以大量隨機路徑抽樣估計分佈的方法；本講用它驗證 SDE 解的理論分佈。
- 詹森不等式 Jensen’s Inequality：凸（凹）函數的期望與期望的函數之間的不等關係；波動率拖累的數學根源。
常見問題 FAQ
GBM 解中的 $-\frac{1}{2}\sigma^2$ 是從哪裏來的？
它來自 Ito 引理的二階項。對 $S_t$ 取對數後，二階導數 $-1/S_t^2$ 與 $(dS_t)^2 = \sigma^2 S_t^2 dt$ 相乘產生 $-\frac{1}{2}\sigma^2 dt$。經濟含義是波動率拖累：幾何（複合）平均回報必然低於算術平均回報，差距約為方差的一半。這也解釋了模擬中算術均值線與幾何均值線的持續分離。
既然 GBM 比較貼近現實，ABM 還有甚麼用？
兩個主要場景。第一，可為負值的標的：商品價格在極端情況下可以為負（講者舉了原油的歷史案例），利率、價差等本身可取負值的量也適合加法模型——利率領域的 Vasicek 類模型便是 ABM 思路上加均值回歸。第二，ABM 結構簡單，積分即解，常作為教學與推導其他模型（如本講用它解 GBM）的墊腳石。
模擬很多條路徑就能「預測」股價嗎？
不能。蒙地卡羅模擬收斂到的是模型假設下的理論分佈，不是真實未來。若 $\mu$、$\sigma$ 估錯，或市場出現結構斷裂令數據生成過程改變，再精確的模擬也只是精確地回答了錯誤的問題。講者的定位很清楚：這類 SDE 的恰當用途是為衍生工具定價（在風險中性測度下求期望），而非預測價格走向。
原影片
本文整理自以下影片，版權屬原創作者所有，建議配合原片觀看：