由零推導 Black-Scholes 方程：Delta 對沖組合論證逐步拆解｜Quant Math 第 14 講筆記
第 14 課・共 14 課
目錄
這是 Roman Paolucci 量化金融數學系列第 14 講的筆記，處理整個衍生工具定價領域最著名的一條方程。講者以一鏡到底、不用講稿的方式，由零推導 Black-Scholes 方程 Black-Scholes Equation。推導的骨架是經典的對沖組合論證 Hedge Portfolio Argument：先假設標的服從幾何布朗運動，構建一個由股票與歐式期權組成的組合，用 Ito 引理求出期權價值的微分，再選擇恰好等於 Delta 的持股量，把組合中的隨機性完全消去——一個無風險的組合只能賺取無風險利率，偏微分方程由此誕生。本講是本系列 Ito 引理（第 1 講）與 GBM（第 13 講）兩塊基石的直接應用。
學習重點
- 模型假設：標的價格服從幾何布朗運動 $dS_t = \mu S_t\, dt + \sigma S_t\, dW_t$——假設的目的是提供可處理的定價框架，而非聲稱市場真實如此。
- 組合構建：$\Pi = P \cdot S_t + Q \cdot V_t$，持股數 $P$ 與期權合約數 $Q$ 瞬間固定，變化只來自 $dS_t$ 與 $dV_t$。
- Ito 引理求 $dV_t$：期權價值是隨機過程的時間依賴函數，其微分含 $\frac{\partial V}{\partial t}$、$\frac{\partial V}{\partial S}$ 與二階項 $\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}$。
- Delta 對沖：選 $P = -\frac{\partial V}{\partial S}$（即負 Delta），組合中唯一的隨機來源 $dS_t$ 完全抵消，$d\Pi$ 變成確定性方程。
- 無套利收尾：無風險組合必須賺取無風險利率，$d\Pi = r\Pi\, dt$，整理後即 Black-Scholes 偏微分方程。
詳細筆記
第一步：標的動態假設
推導的起點是為標的資產（股票）假設一個隨機過程。Black-Scholes 框架採用幾何布朗運動 GBM：
$$dS_t = \mu S_t\, dt + \sigma S_t\, dW_t$$其中 $\mu$ 是飄移率、$\sigma$ 是波動率、$W_t$ 是標準布朗運動。講者特地表明立場：他不想聽「真實市場不服從 GBM」之類的反駁——假設這個過程的目的，是建立一個可處理的定價框架，模型假設的取捨他已在其他影片詳細討論。GBM 的解與性質可參考本系列第 13 講的算術與幾何布朗運動筆記。
第二步：構建對沖組合
定義組合 $\Pi$：持有 $P$ 股股票（價格 $S_t$）與 $Q$ 份歐式期權合約（價值 $V_t$）：
$$\Pi = P\, S_t + Q\, V_t$$$V_t$ 正是我們想求的未知定價函數——某種能給出衍生工具今日公平價值的函數，整個論證的目的就是找出它必須滿足的方程。
考察組合價值的微小變化。關鍵觀察：$P$ 與 $Q$ 在這一瞬間是常數——股價由 100 升到 101，你持有的股數不會改變。因此：
$$d\Pi = P\, dS_t + Q\, dV_t$$$dS_t$ 已知（就是 GBM），問題全在 $dV_t$：我們連 $V$ 的函數形式都不知道，如何求它的微分？
第三步：Ito 引理求期權微分
我們知道的只有一件事：$V_t$ 是隨機過程 $S_t$ 的時間依賴函數 $V(t, S_t)$。求這類函數的微分，正是 Ito 引理 Ito’s Lemma 的用途。一般的展開包含時間偏導項、過程偏導項、時間與過程的交叉項，以及各二階項；但隨機微積分的規則令大部分項消失：
$$dt^2 \to 0, \qquad dt\, dW_t \to 0, \qquad dW_t^2 \to dt$$最後一條是二次變差 Quadratic Variation：布朗運動的隨機性必須以 $dt$ 的速度累積，否則連續時間中沒有任何隨機性留存。至於交叉項 $dt\, dS_t$：把 GBM 方程兩邊乘以 $dt$，得到 $\mu S_t\, dt^2 + \sigma S_t\, dt\, dW_t$，兩項皆為零，整個交叉項消失。化簡後的 Ito 引理為：
$$dV_t = \frac{\partial V}{\partial t}\, dt + \frac{\partial V}{\partial S_t}\, dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S_t^2}\, (dS_t)^2$$還需處理 $(dS_t)^2$。把 GBM 動態平方展開：
$$(dS_t)^2 = \mu^2 S_t^2\, dt^2 + 2\mu\sigma S_t^2\, dt\, dW_t + \sigma^2 S_t^2\, dW_t^2 = \sigma^2 S_t^2\, dt$$前兩項按規則消失，末項因 $dW_t^2 \to dt$ 而倖存。代回得期權微分：
$$dV_t = \frac{\partial V}{\partial t}\, dt + \frac{\partial V}{\partial S_t}\, dS_t + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\, \frac{\partial^2 V}{\partial S_t^2}\, dt$$把這個結果代回組合微分：$d\Pi = P\, dS_t + Q\, dV_t$。
第四步：選擇持股量消去隨機性——Delta 對沖
現在檢查 $d\Pi$ 中的隨機性在哪裏。右邊第一項 $P\, dS_t$ 含有 $dW_t$（經由 GBM）——是隨機的；而 $dV_t$ 中的 $\frac{\partial V}{\partial S_t}\, dS_t$ 項含有完全相同的隨機來源。其餘各項——$\sigma^2$ 是參數、$S_t$ 是現價、$dt$ 是時間步——都不是隨機的。
若兩個 $dS_t$ 項能互相抵消，組合便再無隨機性。我們不能憑空消去項，但可以自由選擇持股量。取 $Q = 1$（不失一般性），並令：
$$P = -\frac{\partial V}{\partial S_t}$$對期權交易者而言，$\frac{\partial V}{\partial S_t}$ 這個偏導數毫不陌生——它就是 Delta。這正是 Delta 對沖 Delta Hedging：每持有一份期權，沽出 Delta 股股票。代入後：
$$d\Pi = -\frac{\partial V}{\partial S_t}\, dS_t + \left[\frac{\partial V}{\partial t}\, dt + \frac{\partial V}{\partial S_t}\, dS_t + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S_t^2}\, dt\right]$$兩個 $dS_t$ 項正負相消，剩下：
$$d\Pi = \frac{\partial V}{\partial t}\, dt + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\, \frac{\partial^2 V}{\partial S_t^2}\, dt$$組合的變化中再無 $dW_t$——帳上沒有風險。$d\Pi$ 不再是隨機微分方程，而是一條確定性的微分關係。
第五步：無套利原則——無風險組合只能賺無風險利率
一個沒有風險的組合，在無套利原則下必須賺取無風險利率 Risk-Free Rate $r$——否則套利者可以借錢買入（或沽空）該組合賺取無風險差價。因此在微小時間步內：
$$d\Pi = r\, \Pi\, dt$$左邊代入對沖後的 $d\Pi$，右邊代入組合構成 $\Pi = V_t - \frac{\partial V}{\partial S_t} S_t$（即 $Q=1$、$P = -\frac{\partial V}{\partial S_t}$）：
$$\frac{\partial V}{\partial t}\, dt + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S_t^2}\, dt = r\left(V_t - \frac{\partial V}{\partial S_t} S_t\right) dt$$第六步：整理得 Black-Scholes 方程
兩邊約去 $dt$，把右邊的 $rV_t$ 與 $r S_t \frac{\partial V}{\partial S_t}$ 移項至左邊：
$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\, \frac{\partial^2 V}{\partial S_t^2} + r S_t\, \frac{\partial V}{\partial S_t} - r V_t = 0$$
這就是 Black-Scholes 方程。講者指出其形式上的重要轉變：我們由一條隨機微分方程（SDE，含 $dW_t$）出發，最終得到一條偏微分方程（PDE，完全確定性）。這條 PDE 有解析上可處理的解——配上歐式認購或認沽的到期回報作邊界條件求解，便得出著名的 Black-Scholes 期權定價公式。講者表示若有興趣，可另拍影片解析求解這條 PDE。
值得留意一個細節：飄移率 $\mu$ 在最終方程中完全消失。對沖消去的不只是隨機性，還有對標的回報預期——這正是 Black-Scholes 定價與風險中性世界的深刻連繫：期權價格不依賴投資者對後市的看法。
🙏 覺得內容有用？本站所有內容免費提供，使用推薦碼開戶就是支持我們繼續營運的最大鼓勵：
ZA Bank 邀請碼 P20923
—— 你享 HKD 2,000 迎新獎賞，本站獲得營運支持。
立即開戶 →
（聯盟連結｜投資涉及風險，受條款及細則約束，此資料僅可於香港境內分發）
欣利克的看法
- 推導的核心不是數學技巧，而是「風險消失則回報歸一」的經濟邏輯。 Ito 引理與二次變差規則只是工具；整個論證的支點是無套利原則——一個被完全對沖的組合沒有理由賺取超過無風險利率的回報。這與本站 Quant Theory 第 16 講的遠期合約無套利定價 是同一邏輯的兩個層次：那邊用靜態複製，這邊用動態對沖，結論都由「套利不存在」倒逼出來。
- Delta 對沖在紙上是瞬時的，在市場上是離散的。 推導假設組合連續再平衡、無交易成本、可以任意沽空。實務上每次調整持股都有手續費與滑點，跳空行情更令「瞬間對沖」失效——殘餘的對沖誤差正是期權造市商要管理的核心風險之一。方程給出理想世界的價格，不是成交保證。
- $\mu$ 的消失常被誤讀為「模型假設回報率是 $r$」。 更準確的說法是：對沖論證令定價與真實世界的主觀預期無關，所有投資者無論看好看淡，都會算出同一個期權價。這正是風險中性定價（本系列第 8 講脈絡）的根基，也是為甚麼實務上用「隱含波動率」反推市場共識，而非用模型預測方向。
- 資料時效提醒： 影片於 2026 年 8 月上載，內容為 1973 年 Black–Scholes–Merton 框架的標準推導，屬長期有效的教科書知識。講者一鏡到底的推導中符號偶有即場修正（把 $f$ 改為 $V$），本筆記已按最終口徑整理。
名詞解釋
- 期權 Option：賦予持有人以指定價格買賣資產之權利而非義務的衍生合約；Black-Scholes 方程的定價對象。
- 認購期權 Call Option：賦予以行使價買入資產之權利的期權；配上對應邊界條件可由本方程解出其價格公式。
- 認沽期權 Put Option：賦予以行使價賣出資產之權利的期權。
- 對沖 Hedging：以相反方向的持倉抵消風險的操作；Delta 對沖是其在期權定價中的數學化身。
- 無風險利率 Risk-Free Rate：無違約風險的投資回報率；無風險組合的必然回報。
- 無套利 No Arbitrage：不存在無風險獲利機會的原則；Black-Scholes 方程由此倒逼而出。
- 行使價 Strike Price：期權合約指定的買賣價格；在本方程中經由到期回報的邊界條件進入定價。
- 回報函數 Payoff Function：衍生工具到期時價值對標的價格的函數；求解 PDE 時作為邊界條件。
常見問題 FAQ
推導出的是方程還是公式？
是偏微分方程，不是直接的價格公式。Black-Scholes 方程刻畫任何（歐式）衍生工具價值 $V(t, S)$ 必須滿足的條件；配上具體的到期回報作邊界條件——例如認購期權的 $V(T, S) = \max(S - K, 0)$——再求解，才得到教科書上含 $\mathcal{N}(d_1)$、$\mathcal{N}(d_2)$ 的 Black-Scholes 定價公式。本講止於推導方程，解析求解留待後續。
為甚麼對沖後組合的期望回報恰好是無風險利率，不能更多或更少？
這是無套利原則的直接推論。若一個完全無風險的組合能賺取高於 $r$ 的回報，任何人都可以以 $r$ 借錢買入它，鎖定無風險利差；反之若低於 $r$，沽空組合並把資金按 $r$ 投資同樣是無風險套利。兩個方向的套利壓力會把回報壓回 $r$。這個「風險消失則回報歸一」的約束，正是把 $d\Pi$ 與 $r\Pi\,dt$ 劃上等號的依據。
推導中 $\mu$ 消失了，這代表模型假設股票回報率等於無風險利率嗎？
不宜這樣解讀。$\mu$ 消失是因為 Delta 對沖同時消去了組合的隨機性與方向性敞口——無論你認為股票會升還是跌，對沖後的組合價值演化都一樣，期權價格因此與主觀預期無關。這與風險中性定價等價：在那個定價測度下，所有資產的期望回報都是 $r$，但這是定價工具而非對真實世界的斷言。
原影片
本文整理自以下影片，版權屬原創作者所有，建議配合原片觀看：