回報、風險與年化的實戰計算：由價格到夏普比率｜Quant Theory 第 8 講筆記
第 8 課・共 34 課
目錄
這是 Liu Peng 大學級量化交易課程第 3 講第二段的筆記。上一講建立了風險與回報的理論框架（詳見風險與回報｜第 7 講），本講落到實作層面：用 Python 親手計算回報與風險、推導年化 Annualization 的公式，最後以真實股票數據示範夏普比率的完整計算流程。
學習重點
- 複利下的財富路徑：用累乘函數計算財富演變，可親眼驗證「平均回報相同、波動較大者終值較低」這個上一講的理論結論。
- 價格轉回報的多種寫法：逐期相除、忽略索引整列相除、shift 平移、pct_change 一次過——結果相同，重點是理解索引對齊問題。
- 年化回報用複利：日回報取 252 次方、月回報取 12 次方、季回報取 4 次方，再減 1；本質是把單期回報複利滾存一年。
- 年化風險用平方根法則：日波動率乘 $\sqrt{252}$，因為方差隨時間線性增長、標準差只隨平方根增長——與回報的次方換算邏輯完全不同。
- 無風險基準會改變排名：扣除無風險利率後，回報風險比的排名可以逆轉，這正是夏普比率的意義。
詳細筆記
複利驗證：相同平均回報、不同終值
講者先重溫上一講的例子：兩條人手構造的回報序列 Asset1 與 Asset2，算術平均同為 0.16，但 Asset2 的標準差明顯較高。實作上，他把兩條序列以鍵值對字典轉成 pandas 的 DataFrame，之後用 std() 與 mean() 一行算好兩列的風險與平均回報。
接着是財富路徑的計算。把回報加 1 變成 $1+R$ 格式後，每期財富就是把之前所有期的 \$1+r$ 累乘起來：
$$W_t = W_0 \prod_{i=1}^{t} (1 + r_i)$$假設本金 100 元，用累乘函數（cumprod）一步算出每個時點手上有多少錢。結果與理論一致：Asset2 的平均回報與 Asset1 相同，但終值明顯較低。
講者強調這雖是假設性例子，卻清楚展示風險的影響：複利之下，大上大落的回報路徑會侵蝕終值。
由價格到回報：四種 Python 寫法
實務上我們手上的原始資料是資產價格，不是回報。單期回報由價格計算：
$$R_{t-1,t} = \frac{S_t}{S_{t-1}} - 1$$講者示範了四種等價寫法，各有學習價值：
- 逐期手算：相鄰兩個價格相除再減 1。直觀但繁瑣，只適合驗算。
- NumPy 一次過：取出「後段價格」與「前段價格」兩條陣列整列相除，一次算好所有期數的 $1+R$。
- iloc 配合 values：用 iloc 按位置取材時，兩條序列的索引分別是 0、1 與 1、2，直接相除會因索引錯位對錯行；解法是取出
.values忽略索引，只對數值運算。這個索引對齊陷阱是 pandas 新手最常見的 bug 來源。 - shift 平移：把價格列向下平移一格，索引保持 0、1、2 對齊，整列相除即可。亦可用內建的 pct_change 函數，一行完成同一件事。
四種方法結果完全相同：工具層面有多條路，底層數學只有一條。
終值回報：累乘的兩種叫法
由單期回報算整段時期的終值回報 Terminal Return，本質是複利累乘：
$$R_{total} = \prod_{t=1}^{n} (1 + r_t) - 1$$NumPy 寫法是先加 1、累乘、再減 1；pandas 寫法更簡潔，直接對整列叫 prod()，按列把所有元素相乘，最後減 1。兩者結果一致。
年化回報：複利次方推導
年化 Annualization 的目的，是把不同時間尺度的數字統一到「一年」這把尺上，方便比較。回報的年化遵循複利邏輯——假設未來每期的回報都複製當期的單期回報 $r_p$，一年共 $N$ 期，則：
$$R_{ann} = (1 + r_p)^{N} - 1$$代入不同周期：
- 日回報（一年約 252 個交易日）：$R_{ann} = (1 + r_d)^{252} - 1$
- 月回報：$R_{ann} = (1 + r_m)^{12} - 1$
- 季回報：$R_{ann} = (1 + r_q)^{4} - 1$
講者以月回報 1% 為例：$(1.01)^{12} - 1 \approx 12.68\%$，而不是簡單的 $1% \times 12 = 12%$——複利令年化結果略高於線性放大。季回報 5% 年化後約 21.55%，同樣高於 \$5% \times 4 = 20%$。
年化風險：平方根法則
風險的年化邏輯完全不同。假設每日回報獨立同分佈，一年回報的方差是日方差按日數累加：
$$\sigma_{ann}^2 = 252 \, \sigma_d^2$$但我們慣用的風險單位是標準差而非方差，兩邊開方後：
$$\sigma_{ann} = \sigma_d \times \sqrt{252}$$講者特別提醒：這裡不是取 252 次方，而是乘以 $\sqrt{252}$，因為我們活在標準差的單位裡。舉例：日波動率 0.1%，年化後約 $0.001 \times \sqrt{252} \approx 1.59%$。平方根的寫法亦可以是取 0.5 次方，兩者等價。平方根法則背後的假設是各期回報獨立——若回報有自相關，這個換算會有偏差。
夏普比率：無風險基準改變排名
講者用一個簡例說明為何要引入無風險利率 Risk-Free Rate。設資產一回報 5%、波動率 20%，資產二回報 10%、波動率 50%，無風險利率 3%。
單看回報除風險：資產一 $0.05/0.20 = 0.25$，資產二 \$0.10/0.50 = 0.20$，資產一似乎較好。但扣除基準後計算夏普比率：
$$S = \frac{R - R_f}{\sigma}$$資產一 $(0.05-0.03)/0.20 = 0.10$，資產二 $(0.10-0.03)/0.50 = 0.14$——排名逆轉，資產二反而較優。
原因很直觀：資金泊在無風險資產已有 3% 落袋，承擔風險只為賺取超出這條線的部分。資產一的回報僅比基準高 2 個百分點，承擔風險換來的超額回報其實很薄。
真實數據實戰：Apple 對 Google
最後講者用 yfinance 下載 Apple 與 Google 由 2003 年初起計的經調整收市價，走完整條流程。幾個實作要點：
- 多層列索引：下載的數據第一層是價格類型、第二層是股票代號，按列取出兩隻股票的 Adjusted Close。
- pct_change 轉回報：一行算好 $1+R$ 格式的日回報，並剔除缺數的日子。
- 總體與樣本標準差：手算波動率（回報減均值、平方、取平均、開方）時若除以 $n$，結果與 pandas 的
std()不同——因為std()預設用樣本公式除以 $n-1$。行數可用 shape 取得，調整後兩者一致。 - 年化波動率：
std()乘 $\sqrt{252}$，一行完成。
年化回報方面，講者示範了幾何平均的推導。先把整段時期的回報累乘得終值回報，再開 $n$ 次方還原成每日的幾何平均回報：
$$\bar{r}_d = \left( \prod_{t=1}^{n} (1 + r_t) \right)^{1/n} - 1$$再取 252 次方年化。兩步亦可合併為一行：累乘後直接取 $252/n$ 次方再減 1：
$$R_{ann} = \left( \prod_{t=1}^{n} (1 + r_t) \right)^{252/n} - 1$$
最後把年化回報減去無風險利率（講者假設 3%）得超額回報 Excess Return，再除以年化波動率，得出兩隻股票的夏普比率作比較——以該段數據計，Apple 的風險調整表現明顯優於 Google。至此，由價格到回報、由日度到年化、由絕對回報到風險調整回報的完整計算鏈已經打通。
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欣利克的看法
- 年化的本質是「假設」而非「預測」。$(1+r_d)^{252}-1$ 這條公式隱含假設未來一年 252 日每日都複製同一回報，現實中回報日日不同，年化數字只是把不同周期的表現放到同一把尺上比較的工具。樣本越短、遇上越極端的行情，年化結果越容易脫離常識——本講真實數據例子中動輒數倍的年化回報，正是短樣本被複利放大的效果，解讀任何年化數字前應先看數據時段。
- 回報用次方、風險用平方根，兩者不可混用。這是初學者最常見的錯誤：把日波動率直接乘 252，或把日回報用 $\sqrt{252}$ 年化。背後原因是回報按複利累乘、方差按時間累加，兩條數學路徑不同。記住「回報次方、風險開方」這句口訣可避免大部分錯誤。
- 252 這個數字本身也是約定俗成。一年實際交易日因市場與年份而異，美股慣用 252，加密貨幣市場全年無休則常用 365。跨市場比較年化指標時，若雙方用的日數假設不同，結果未必可直接對比。
- 排名逆轉的例子值得記住。本講示範了引入無風險基準後資產排名可以逆轉，說明「回報除以風險」與夏普比率量度的不是同一件事。比較不同來源的策略數據時，要留意對方是否已扣除無風險利率、以及用哪個利率作基準——基準不同，結論可以相反。
名詞解釋
- 年化 Annualization：把短周期回報或波動率換算成一年尺度的方法；回報按複利取次方，波動率按平方根法則換算。
- 複利 Compounding：每期回報連本帶利滾存再投資，多期回報以累乘而非累加計算。
- 無風險利率 Risk-Free Rate：理論上零風險投資的回報基準，常用短期國債利率代表，是超額回報與夏普比率的起點。
- 波動率 Volatility：回報的標準差，金融上直接當作風險使用；日波動率乘 $\sqrt{252}$ 可年化。
- 夏普比率 Sharpe Ratio：超額回報除以波動率，量度每承受一單位風險換取多少超額回報。
常見問題 FAQ
年化回報為何要用次方而非直接乘？
因為回報按複利滾存：每日賺到的錢會成為下一日的本金。日回報 $r_d$ 滾存 252 日的結果是 $(1+r_d)^{252}-1$，而不是 $r_d \times 252$。月回報 1% 直接乘 12 得 12%，複利計算則是約 12.68%，周期越長、單期回報越大，兩者差距越明顯。
為何波動率年化是乘 $\sqrt{252}$ 而非 252？
假設每日回報獨立，方差會隨時間線性累加，一年方差是日方差的 252 倍。但我們用的是標準差，標準差是方差的平方根，所以只需乘 $\sqrt{252} \approx 15.87$。若回報存在自相關（例如動能或均值回歸特徵），這個換算會有偏差。
算術平均回報相同，為何複利終值可以不同？
累乘之下，虧損與盈利不對稱：跌 50% 之後要升 100% 才能回本。波動越大的路徑，這種「波動拖累」越明顯，所以即使算術平均一樣，波動大者的幾何平均（即複利終值）會較低。年化回報用幾何平均計算，正是為了反映這一點。
為何比較資產時要扣無風險利率？
因為資金泊在無風險資產已有基本回報，承擔風險的目的只是賺取超出這條基準線的部分。本講的例子顯示，不扣基準時資產一的回報風險比較高，扣除 3% 無風險利率後排名逆轉——風險調整後的比較才反映承擔風險的真正回報。
原影片
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