對數回報實作：Lab 1 用 Python 計算累積回報｜Quant Theory Lab 筆記

2026年1月18日 · 來源頻道：Liu Peng · #對數回報 #Python #實作 #學術課

第 18 課・共 34 課

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這是 Liu Peng 大學級量化交易課程第一個 lab 的實作筆記，主題是對數回報 Log Return 的 Python 實作。講者在 Google Colab 上即場寫 code，用 yfinance 下載 Google 股價，把第 10 講推導過的三種累積回報算法逐行實現，並用程式驗證三者結果完全一致。

學習重點

數據準備：用 yfinance 下載 GOOG 股價，回傳以日期為索引的 DataFrame；指定日期範圍不代表每日都有數據，只有交易日才有記錄。
單期回報：對收市價序列應用 pct_change() 即得簡單回報 Simple Return；第一期必為空值（NaN），因為沒有前期價格可比較。
終值回報：期末價除以期初價再減 1，本 lab 的示範結果約 $-1.72\%$。
累積回報兩算法：簡單回報轉 1+R 格式後用 cumprod() 連乘；對數回報則用 cumsum() 連加再取指數——兩者最後一期數值與終值回報完全相等。
化乘法為加法：對數性質 $\ln(AB) = \ln A + \ln B$ 是整個 lab 的數學核心，令累積運算由連乘變連加。

詳細筆記

Lab 環境與數據準備

講者在 Google Colab 的 Jupyter Notebook 環境中示範，整個 lab 以儲存格（cell）為單位逐段執行。第一步是取得數據：用 yfinance 套件下載 Google（GOOG）的股票數據，日期範圍設為 2023 年 1 月 1 日至 1 月 8 日。

symbol = 'GOOG'
df = yf.download(symbol, start="2023-01-01", end="2023-01-08")
df

（以上 code 摘錄自原片教學）

執行後可見一個重要細節：雖然指定了八天的範圍，回傳的 DataFrame 只有四行——2023 年 1 月 3 日至 6 日。原因是 1 月 1 日與 2 日是週末及假期，並非交易日，自然沒有數據。這提醒初學者：日期範圍是查詢條件，不是結果保證，實際行數取決於交易日曆。

數據結構方面，日期被設為索引（index），欄位共六個：開市價（Open）、最高價（High）、最低價（Low）、收市價（Close）、調整後收市價（Adj Close）與成交量（Volume）。本 lab 全程只用 Close 一欄，即每個交易日的收市價。

用 yfinance 下載 GOOG 數據及 pct_change 計算單期回報的 Colab 畫面（截圖出自原片（Liu Peng））

步驟一：pct_change 計算單期簡單回報

取得價格序列後，講者先計算每個交易日的單期回報。pandas 的 Series 自帶百分比變化函數 pct_change()，對序列應用此方法，會回傳一條索引相同的新序列，每個數值是當期相對前期的百分比變化：

$$R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} = \frac{P_t}{P_{t-1}} - 1$$

這就是簡單回報 Simple Return，又稱百分比回報。以第二個交易日為例，函數取當日收市價減去前一日收市價，再除以前一日收市價，得出相對前一交易日的百分比變化。

# single-period percentage returns
returns = df.Close.pct_change()
returns

（以上 code 摘錄自原片教學）

輸出中第一期的值是 NaN（空值）。原因很直接：第一個交易日之前沒有價格點，無法計算差值，函數只能留空。這個 NaN 在後續計算會自動被累積函數略過，但實作時要意識到它的存在——例如計算平均回報前，通常要先移除空值，否則部分統計函數會回傳 NaN。

至此得到的 returns 序列，每一項代表該交易日的單日回報，每日數值各自獨立。問題來了：如果期初手持一股（示範中約 89 美元），持有到期末，整段期間的回報是多少？

步驟二：首尾價格法計終值回報

終值回報 Terminal Return 問的是：由期初持有到期末，總共經歷了幾多百分比的變化？最直接的算法只需兩個價格點——期末收市價除以期初收市價，再減 1：

$$R_{0,T} = \frac{P_T}{P_0} - 1$$

其中 $P_T / P_0$ 是 1+R 格式，代表期末資產相對期初本金的倍數；減 1 是把倍數還原成回報率。示範中該週股價下跌，算出的終值回報約為 $-1.72\%$，即持倉價值縮水了約 1.7%。價格跌，回報是負數，方向與價格變動一致。

這個方法勝在直觀，只需首尾兩個數據點；缺點是完全忽略了中間交易日的價格資訊，看不到資金在期間內的升跌軌跡。

步驟三：cumprod 累積回報與交叉驗證

第二種方法把終值回報視為複利 Compounding 過程：每日的回報連本帶利滾入下一日，逐日複利累積。程式上先把簡單回報轉成 1+R 格式（每項代表當日資金的倍數變化），再應用累積乘積函數 cumprod()：

$$R_{0,t} = \prod_{i=1}^{t} (1 + R_i) - 1$$

cumprod() 的「累積」是指：每一期的輸出值，等於由期初到當期所有 $(1+R_i)$ 的連乘積。最後再減 1，還原成簡單回報口徑的累積回報 Cumulative Return。

# cumulative returns
cum_returns = (1+returns).cumprod() - 1
cum_returns

（以上 code 摘錄自原片教學）

與首尾價格法不同，cumprod 輸出的是一條完整序列：每一期都顯示由期初持有到該日的累積回報，可以看見資金中間的演變，而非只看終點。

cumprod 計算累積回報，並用 cum_returns.values[-1] == terminal_return 驗證兩法結果相等（截圖出自原片（Liu Peng））

接着講者做了一件值得學習的事——交叉驗證。他用 cum_returns.values[-1] 取出累積回報序列的最後一項（.values 屬性會捨棄索引、只取數值本身），與步驟二首尾價格法算出的終值回報比較，結果回傳 True：兩條路徑抵達同一終點。這與回報與風險的基礎計算｜第 7 課的推導一致：多期回報連乘後，中間項全部對銷，理論上只剩 $P_T / P_0$。實作時養成「用兩種方法算同一樣東西、再驗證相等」的習慣，是發現 code 錯誤的有效手段。

步驟四：對數回報、cumsum 與化乘法為加法

第三種方法輪到本 lab 的主角登場。把 1+R 格式的單期回報取自然對數，就得到對數回報 Log Return：

$$r_t = \ln(1 + R_t) = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)$$

程式上用 NumPy 的 np.log() 對整條序列做變換。關鍵分別在下一步：原本簡單回報要用 cumprod() 連乘，對數回報改用 cumsum() 連加，最後以指數函數 np.exp() 還原、再減 1：

$$R_{0,t} = \exp\left(\sum_{i=1}^{t} r_i\right) - 1$$

# log returns (1+R format)
log_returns = np.log(1+returns)
# get cumulative returns using log returns
cum_return2 = np.exp(log_returns.cumsum()) - 1

（以上 code 摘錄自原片教學）

為何乘法可以變加法？講者在畫面上即場手寫推導：設兩個 1+R 格式的數量 $A$ 與 $B$，原本要計算乘積 $A \cdot B$；取對數後，利用對數函數的基本性質，乘積變成求和：

$$\ln(A \cdot B) = \ln A + \ln B$$

求和完畢，再施加指數變換——指數函數是對數函數的逆運算，正好把對數變換「對銷」，還原出原來的乘積：

$$\exp(\ln A + \ln B) = \exp(\ln(A \cdot B)) = A \cdot B$$

對數回報的 cumsum 算法與手寫推導 exp(log(a)+log(b))=a·b（截圖出自原片（Liu Peng））

換言之，整條路徑是「取對數 → 連加 → 取指數 → 減 1」，兜了一個圈，計算的仍是同一樣東西。講者再次交叉驗證：取 cum_return2 的最後一項與終值回報比較，結果同樣相等。三種算法——首尾價格法、cumprod 連乘法、對數回報 cumsum 法——殊途同歸。

那為何要兜這個圈？講者點明：連乘在數學推導上很難處理，加法比乘法容易操作得多。把問題轉到對數空間，累積運算由 cumprod 變 cumsum，之後做統計分析（均值、方差、回歸）都建基於可加變量，推導順暢；需要實際回報數字時，取指數轉回原來尺度即可。這正是第 10 講強調對數回報是量化研究標準口徑的原因，本 lab 則用 code 把這個抽象優點變成可以親手執行的具體操作。

Lab 總結：三條路徑一個終點

回顧整個 lab 的流程：下載數據 → 計算單期簡單回報 → 分別用三種方法計算累積與終值回報 → 逐項驗證相等。技術細節之外，有兩個實作態度值得記下。其一，每個新函數都要看清輸出結構：pct_change() 保留原索引、第一期留 NaN；cumprod() 與 cumsum() 輸出完整序列而非單一數值；.values 捨棄索引只取數值。其二，結果要用獨立方法驗證：講者三次使用相等性檢查（回傳 True），確認不同算法的輸出一致，這種「自己考自己」的習慣，在日後策略回測中會救回無數隱藏錯誤。

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欣利克的看法

概念釐清：三種算法是同一數學事實的三種寫法，不是三個答案。初學者容易以為 cumprod 與 cumsum 版本「近似相等」，其實在忽略浮點誤差的前提下，三者是嚴格相等的——這正是講者用 == 驗證回傳 True 的原因。分別只在計算路徑與後續分析的便利性：要做統計建模，對數回報的加法結構無可替代；只問持有期間總回報，首尾價格法一行已夠。
常見誤區：忽略 pct_change 留下的 NaN。第一期的空值不是程式錯誤，而是「沒有前期可比」的自然結果。但 NaN 會向下游傳染：直接對含 NaN 的序列求平均或標準差，結果會是 NaN。實作時應養成習慣，計算統計量前先 dropna()，或確認所用函數會自動略過空值——cumprod 與 cumsum 會保留 NaN 位置但跳過計算，行為並不一致，動手前要查清文件。
觀點比較：簡單回報與對數回報各有管轄範圍。本 lab 展示了兩者在時間維度上可以互相轉換，但第 10 講已提過一個重要例外：計算投資組合的橫切面加權回報時，只有簡單回報正確，因為組合回報等於各資產簡單回報的加權平均，對數回報沒有這個性質。時間序列分析用對數回報、組合橫切面用簡單回報，是教科書的標準分工，混用是回測中常見的隱藏錯誤。
時效提醒：免費數據接口並非一成不變。原片於 2023 年上載，yfinance 回傳的欄位結構（例如是否多層索引、Adj Close 欄位是否存在）在近年版本更新中已有變化。截至 2026 年中，照抄原片 code 在新版套件下未必能原樣運行，實作時應先印出 df.columns 檢查結構，再決定取欄位的寫法。

名詞解釋

對數回報 Log Return：取 1+R 格式回報的自然對數，具時間可加性，多期累積由連乘化簡為連加，是量化研究的標準回報口徑。
簡單回報 Simple Return：現價減前價再除以前價的百分比回報，單期直觀但多期須連乘，不可直接相加。
yfinance 股價數據套件 yfinance：Python 的免費金融數據套件，從 Yahoo Finance 下載歷史價量數據並回傳 DataFrame。
Pandas 數據套件 Pandas：建基於 NumPy 的數據分析函數庫，以 Series 與 DataFrame 處理時間序列，本 lab 的 pct_change、cumprod、cumsum 皆為其 Series 方法。
NumPy 陣列套件 NumPy：Python 數值計算核心套件，提供向量化運算，本 lab 用其 np.log 與 np.exp 做對數與指數變換。
數據框 DataFrame：Pandas 的二維表格結構，行為日期、列為價量欄位，是 yfinance 回傳數據的載體。
複利 Compounding：每期回報連本帶利滾存再投資，多期回報以累乘計算，是 cumprod 算法背後的經濟含義。

常見問題 FAQ

pct_change 計算出來的第一期為何是 NaN？

因為第一個交易日之前沒有價格點，無法計算「相對前期」的百分比變化，函數只能留空。這是正常行為而非錯誤；但後續計算統計量前應先移除空值，避免 NaN 向下游傳染。

cumprod 與 cumsum 算出的累積回報真的完全一樣嗎？

在數學上嚴格相等：由對數性質 $\ln(AB) = \ln A + \ln B$，連乘取對數後變連加，再取指數還原，結果與直接連乘相同。講者在原片以相等性檢查驗證兩者最後一期數值一致，回傳 True。

既然首尾價格相除一行就能算出終值回報，為何還要學對數回報？

首尾價格法只用兩個數據點，看不到中間軌跡，也無法做統計分析。對數回報把多期累積化為加法，均值、方差、回歸等分析工具才能順暢應用——這是量化研究普遍採用對數回報的根本原因，詳見第 10 講。

yfinance 下載的日期範圍內，為何不是每日都有數據？

因為只有交易日才有價格記錄。週末與公眾假期休市，指定日期範圍只是查詢條件；原片示範下載 2023 年 1 月 1 日至 8 日的數據，實際只得 1 月 3 日至 6 日共四行。

原影片

本文整理自以下影片，版權屬原創作者所有，建議配合原片觀看：

來源：https://www.youtube.com/watch?v=F-rNvoTT13I

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