Lab 2 實作：SMA 與 EMA 平滑均線的 Python 實戰｜Quant Theory 第 19 講筆記
第 19 課・共 34 課
目錄
這是 Liu Peng 大學級量化交易課程第二個實作 lab 的筆記，主題是以 Python 實作簡單移動平均線 SMA 與指數移動平均線 EMA。兩條均線的公式推導與平滑原理，第 11 講已有完整講解（詳見移動平均線與雙均線趨勢跟隨策略｜第 11 課）；本 lab 把理論落地：用 yfinance 下載蘋果公司（AAPL）2022 年起的日線數據，以 pandas 的 rolling 與 ewm 函數分別計算兩種均線，並逐步驗證結果。
學習重點
- 數據準備的關鍵一步：yfinance 下載後把索引轉為 datetime 格式，pandas 繪圖時才能識別時間軸，自動把刻度聚合到月份層級。
- SMA 用
rolling(window).mean()：窗口內等權重平均，期初不足一個窗口的位置預設為 NaN；設min_periods=1可「有多少用多少」。 - EMA 用
ewm(alpha, adjust=False).mean()：不需指定窗口，全部歷史數據納入計算，權重按 $(1-\alpha)$ 指數衰減。 - 驗證是實作的一部分：手動計算序列首幾個值，與函數輸出對照，確認參數設定與預期一致。
- 參數即取捨：窗口小或 $\alpha$ 大，曲線貼近價格；窗口大或 $\alpha$ 小，曲線平滑但反應變慢。
詳細筆記
數據準備：yfinance 下載與日期索引
講者先用 yfinance 下載蘋果公司的日線數據，範圍由 2022 年 1 月初至 2023 年初，約一年的交易日數據。下載所得是一個 pandas DataFrame，包含開市、最高、最低、收市、調整後收市價 Adjusted Close 與成交量六欄，與一般行情軟件的 OHLCV 結構一致。
下載後有一個容易忽略但十分重要的步驟：把 DataFrame 的索引轉換為 datetime 格式。yfinance 回傳的索引預設未必是標準日期時間型態；講者指出，轉換之後 pandas 才「聰明」到能識別索引是日期，繪圖時自動把時間軸聚合到月份層級，圖表刻度才會顯示為 2022-01、2022-03 等月份標籤，而不是逐日擠滿整條橫軸。這一步不改變任何數據，純粹是讓後續的視覺化與時間序列操作能正確運作。
其後的分析只聚焦調整後收市價一欄——均線一般以收市價為輸入，而調整後收市價已剔除拆股、股息等公司行動造成的跳空，是量化計算的標準選擇。把它繪出來，可見 AAPL 在該年內由約 180 美元水平反覆回落至 130 美元附近，途中多次急升急跌——這正是需要用均線平滑的典型序列：長線方向被大量短期噪音遮蔽，肉眼難以判讀趨勢。
SMA 實作：rolling 加 mean
簡單移動平均線的定義，是當期連同過去 $M-1$ 期價格的等權重平均：
$$\mathrm{SMA}_t = \frac{S_{t-(M-1)} + \cdots + S_{t-1} + S_t}{M}$$程式層面，pandas 的 rolling 方法把窗口沿序列逐期滾動，再套 mean 對每個窗口求平均。講者以窗口 3 為例：先指定 window = 3，再動態拼出新欄名稱 SMA-3——欄名跟着窗口大小走，日後改參數時不用手動改名。新欄每個值是當期連同前兩期收市價的平均：窗口框住該行及之前兩行共三個數據點，取其均值作為該行的均線值。最後把調整後收市價與新均線兩欄抽出，組成新的 DataFrame 展示：
# 摘錄自原片教學
window = 3
SMA1 = "SMA-" + str(window)
df[SMA1] = df['Adj Close'].rolling(window).mean()
colnames = ["Adj Close", SMA1]
df2 = df[colnames]
df2.head()
輸出的表格清楚顯示：首兩行的 SMA-3 是 NaN，因為第一、二期之前沒有足夠歷史數據填滿窗口——窗口要求三個點，期初只有一兩個點可用，平均值在定義上不存在。由第三期起，窗口首次填滿，均線開始有值。
講者即場做驗證：取出調整後收市價的首三個值手動求平均，結果與第三行的 SMA-3 完全一致（約 177.84），證明 rolling 的計算邏輯正確。這種「用函數算出來，再手動驗算首幾個值」的習慣，貫穿整個 lab——函數是黑盒，只有對照過定義，才能確定參數沒有用錯。
min_periods：期初空值的處理
首兩行的 NaN 代表「窗口尚未填滿」，在後續計算中不可用。講者示範，若想在期初「有多少用多少」，可以放寬要求：在 rolling 中加入 min_periods=1，意思是窗口內只要至少有一個數據就計算，不再堅持填滿整個窗口。
效果立竿見影：第一行的窗口只有一個值，平均值等於價格本身；第二行的窗口有兩個值，均線是首兩個價格的平均；第三期起窗口填滿，回復正常的三期平均。這是實作上對初始值的特殊處理，用處是保留期初數據供後續運算——例如序列較短時，丟掉期初十幾行可能損失可觀的樣本。但講者也提示了代價：這些期初值只由一至兩個數據點構成，平均的統計基礎薄弱，平滑效果近乎沒有，解讀時要留意。
窗口大小的平滑效果對比
講者接着比較兩條 SMA，把平滑效果視覺化。先看 SMA-3：紅線疊加在原價格上幾乎形影不離，走勢緊貼價格，仍保留大量短期上落——窗口只有三期，平均效應有限，平滑作用僅止於削去最極端的單日跳動。
把窗口加大到 20，畫面截然不同。SMA-20 每個點都要動用過去 20 期價格取平均，單日的大升大跌被其餘 19 期攤薄，短期震盪大幅消減，曲線明顯圓滑，只餘中期走向。這正正印證第 11 講的推導：平滑程度與反應速度是一對取捨——窗口越長，曲線越平滑，對最新價格變化的反應也越慢；窗口越短，反應越快，但均線與原價格分別不大，失去平滑意義。
EMA 實作：ewm 與 alpha
指數移動平均線的遞推定義是：
$$\mathrm{EMA}_t = \alpha S_t + (1-\alpha)\,\mathrm{EMA}_{t-1}$$當期值佔權重 $\alpha$，過去的運行均值佔 $(1-\alpha)$——本質是當期觀測與歷史記憶之間的權衡。把遞推逐層展開，可見所有歷史數據點都納入計算，只是權重按幾何級數遞減：
$$\mathrm{EMA}_t = \alpha\left[S_t + (1-\alpha)S_{t-1} + (1-\alpha)^2 S_{t-2} + \cdots\right]$$講者強調，EMA 沒有明確的窗口設定：越遠的歷史數據權重越小，呈指數式衰減，但理論上永不為零。這與 SMA 的「窗口之內等權、窗口之外歸零」形成鮮明對比。
實作上用 pandas 的 ewm（exponentially weighted moving）函數。這個函數有多個參數可調——例如可以改用窗口長度（span）或半衰期（halflife）取代 $\alpha$ 來定義權重——而為了完全對應第 11 講的遞推公式，講者選擇直接指定 $\alpha$，並設定 adjust=False：
# 摘錄自原片教學
alpha = 0.1
df2['EWM_' + str(alpha)] = df2['Adj Close'].ewm(alpha=alpha, adjust=False).mean()
與 SMA 不同，EMA 的輸出由第一期起已有數值——因為它動用全部歷史數據而非固定窗口，期初不存在「窗口未填滿」的問題，第一期的 EMA 就是價格本身。
講者同樣即場驗證：以 $\alpha=0.1$ 手動計算第二期的值，即 $0.1$ 乘第二期收市價加上 \$0.9$ 乘第一期收市價，得出約 180.73，與 ewm 輸出的第二期完全一致。換言之，遞推公式、手算結果與函數輸出三方對照無誤，才算真正完成這一步實作。
參數對比與策略預告
調整 $\alpha$ 可產生不同的權重方案。講者再算一條 $\alpha=0.5$ 的 EMA：一半權重給當期價格，一半給歷史均值。他用同一個驗證方法核對過新序列的數值，確認無誤才繼續。這條 EWM-0.5 的曲線自然緊貼價格，是圖中與原價格最貼近的一條平滑線；$\alpha=0.1$ 則把九成權重交給歷史均值，平滑得多，滯後也更明顯。
最後把原價格、SMA-3、SMA-20 與兩條 EMA 同圖繪出。五條曲線並排，參數規格與平滑程度的關係一目了然：貼近價格的一端是 SMA-3 與 EWM-0.5，平滑的一端是 SMA-20 與 EWM-0.1。不同參數、不同權重方案，得出的平滑曲線就不同——沒有哪一條「最正確」，只有哪一條最配合分析目的。
講者在結尾預告：這些平滑曲線會進入日後的策略構建部分——取兩條平滑曲線，當兩線出現交叉 Crossover 時產生交易訊號，並按訊號執行交易動作。本 lab 計算均線的功夫，正是為那一刻鋪路；屆時快線與慢線的選擇，就是今天比較過的各種參數組合。
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欣利克的看法
- 「adjust=False」才是課堂公式：pandas 的
ewm預設adjust=True，會把整條序列的加權平均重新歸一化，數值與遞推定義不同。若想重現教科書的 $\mathrm{EMA}_t = \alpha S_t + (1-\alpha)\,\mathrm{EMA}_{t-1}$，必須明確設定adjust=False——講者刻意強調這一點，正是初學者最容易出錯的參數。 - NaN 不是錯誤，是「未定義」：SMA 期初出現空值，本質是窗口未填滿、平均值在數學上不存在，而非程式出錯。
min_periods=1雖能填補期初，但那些值只由一兩個數據點構成，統計意義薄弱；做策略回測時，宜想清楚期初數據要保留還是捨棄。 - α 與窗口 M 只是近似對應：坊間常以 $\alpha \approx 2/(M+1)$ 把 EMA 與 SMA 的「快慢」掛鈎，但兩者權重結構根本不同——SMA 窗口外權重歸零，EMA 權重無限延伸。比較兩條均線的反應速度時，這只是粗略參考，不宜混為一談。
- 理論與實作宜對照着讀：本 lab 每個程式結果都對應第 11 講的一條公式，建議先重溫第 11 課的推導再看本篇，會更明白講者為何堅持逐項手動驗證。
- 數據接口有時效：本 lab 以 yfinance 取數、數據截至 2023 年初；yfinance 屬非官方接口，Yahoo Finance 改版時程式或需調整，重現實驗時宜留意套件版本。
名詞解釋
- 移動平均線 Moving Average：以滾動窗口對價格序列取平均得出的平滑曲線，用來濾除短期噪音、顯現趨勢。
- 簡單移動平均線 SMA：窗口內各期等權重的移動平均，窗口越長曲線越平滑。
- 指數移動平均線 EMA：近期價格權重較高、權重按指數衰減的移動平均，反應較 SMA 靈敏。
- 調整後收市價 Adjusted Close：經股息與拆股回溯調整的收市價序列，是量化計算的標準輸入。
- yfinance 股價數據套件：Python 開源套件，可免費從 Yahoo Finance 下載歷史價量數據。
- 回望窗口 Look-Back Window：策略用來觀察歷史數據的固定時間長度，對應 SMA 的窗口大小。
- 交叉 Crossover：兩條均線上下位置互換的時點，常用作趨勢轉向訊號。
常見問題 FAQ
為什麼 SMA 計算結果的開頭幾行是 NaN？
因為窗口尚未填滿。以窗口 $M$ 計算時，首 $M-1$ 期之前沒有足夠歷史數據，平均值在定義上不存在，pandas 以 NaN 標示。若設 min_periods=1，期初會以不足額的數據先行計算，但那些值的平滑意義有限。
ewm 的 adjust 參數應該怎樣設定？
要重現教科書的遞推公式 $\mathrm{EMA}_t = \alpha S_t + (1-\alpha)\,\mathrm{EMA}_{t-1}$，應設 adjust=False。預設的 adjust=True 會對整條序列做歸一化加權平均，期初數值會與遞推定義不同，兩者不可混用。
EMA 的 α 與 SMA 的窗口大小有沒有對應關係？
坊間常用 $\alpha \approx 2/(M+1)$ 作粗略換算，例如 $\alpha=0.1$ 約對應 19 期 SMA 的「快慢」。但兩者權重結構不同——SMA 窗口外權重為零，EMA 權重指數衰減且無限延伸，這個換算只宜當參考。
均線參數（窗口或 α）應該如何選擇？
沒有標準答案。窗口小或 $\alpha$ 大，曲線貼近價格、訊號多但雜訊也多；窗口大或 $\alpha$ 小，曲線平滑但滯後。參數對策略表現影響極大，須配合回測驗證，並警惕過度擬合歷史數據的風險。
原影片
本文整理自以下影片，版權屬原創作者所有，建議配合原片觀看：