趨勢跟隨策略實作：Python 訊號、回報與財富曲線｜Quant Theory Lab 3 筆記
第 20 課・共 34 課
目錄
這是 Quant Theory 課程的第三個實驗課（Lab 3），把第 11 講講解過的雙均線趨勢跟隨 Trend Following 策略完整實作出來。Liu Peng 在片中用 pandas 與 numpy，由交易訊號、對數回報、交易動作一路計算到財富曲線，最後與買入持有基準比較績效。本篇筆記按實作步驟重構整理，方便讀者對照原片重做一次。
學習重點
- 用
np.where比較短、長兩條移動平均線，產生取值 1、0、−1 的交易訊號欄。 - 用
np.log(...).diff()計算買入持有策略的對數回報，作為比較基準。 - 策略即期回報只需一行：訊號乘以基準對數回報，方向自動對調。
- 對訊號欄做
diff()推導交易動作：+2 是由空翻多，−2 是由多翻空。 - 財富曲線用
np.exp(...).cumprod()繪製，期末取最後一值減一即總回報。
詳細筆記
實驗起點：數據框的準備
承接之前實驗的成果，數據框 df2 已包含以下時間序列欄位：調整後收市價 Adjusted Close、短窗口簡單移動平均線（SMA-3）、長窗口簡單移動平均線（SMA-20），以及兩條不同平滑參數的指數移動平均線（EMM_0.1 與 EMM_0.5）。用 df2.info() 檢視，索引是 2022 年 1 月至 12 月的日期時間，共 251 個交易日，五個欄位全部為浮點數。由於長均線需要 20 日數據起算，SMA-20 欄只有 232 個非空值，頭 19 日是缺失值，稍後要清理。本次實驗只動用 Adj Close、SMA-3、SMA-20 三欄，指數均線留待其他策略使用。
講者提醒，這些衍生欄位本身也是時間序列，與原始價格一樣可以逐日比較、畫圖和做運算——這正是整個實驗的操作對象。
第一步：產生交易訊號
講者先釐清「訊號」的定義：訊號就是每期應該持有的倉位方向，由兩條均線的相對關係決定。短均線對近期價格反應快，代表短期動能；長均線反應慢，代表長期趨勢。當短均線由下方升穿長均線，代表短期動能轉強，應持好倉；當短均線跌穿長均線，動能轉弱，應持淡倉。數學上：
$$ S_t = \begin{cases} 1, & \text{SMA}_t^{(3)} > \text{SMA}_t^{(20)} \\ -1, & \text{SMA}_t^{(3)} < \text{SMA}_t^{(20)} \\ 0, & \text{兩者相等} \end{cases} $$實作分兩行完成：第一個 np.where 建立買入訊號——短均線高於長均線取 1，否則暫時取 0；第二個 np.where 疊加賣出訊號——短均線低於長均線時改寫為 −1，否則保留上一行的原值。這種「先寫正向、再補反向」的寫法，比一次過寫巢狀條件易讀，也方便除錯。最後用 dropna 清除長均線起算期留下的缺失值，避免之後計算回報時出現錯誤：
# 摘錄自原片教學
df2['signal'] = np.where(df2['SMA-3'] > df2['SMA-20'], 1, 0)
df2['signal'] = np.where(df2['SMA-3'] < df2['SMA-20'], -1, df2['signal'])
df2.dropna(inplace=True)
數據框結構與訊號欄的產生方式。截圖出自原片（Liu Peng）
檢視數據框首幾行，可見 signal 欄取值 1 或 −1，若兩線剛好相等則為 0（實務上極少出現）。講者接着用 value_counts() 做頻率統計：−1 出現 135 次、1 出現 96 次，即超過一半時間策略處於淡倉。這與 2022 年該時段市況整體向下吻合——跌市中短均線長期壓在長均線之下，策略自然多數時間造淡。這一步也揭示趨勢跟隨的特性：訊號不是預測，而是對已發生價格關係的系統化反應。
第二步：建立基準——買入持有的對數回報
要比較策略表現，需要一條基準線。講者選用最簡單的買入並持有 Buy-and-Hold：在期初買入一個單位資產，全程持有到期末，期間不做任何操作。這個策略的每期回報，就是價格本身的對數回報 Log Return：
$$ r_t = \ln P_t - \ln P_{t-1} = \ln\!\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right) $$先對價格取對數、再做一階差分，等價於原價格相除後取對數——對數函數把除法變減法，這正是對數回報的定義。程式只需一行：np.log(df2['Adj Close']).diff()，新欄命名為 log_return_buy_n_hold。印出首幾行核對，價格欄與對數回報欄並排，第一日因沒有前期數據而為空值。往後所有策略都與這條基準線比較，做法如同學術論文中的對照組。
第三步：趨勢跟隨策略的即期回報
由基準回報變成策略回報，只需乘上訊號，方向自動修正：
$$ r_t^{TF} = S_t \times r_t $$逐種情況檢驗這條乘法的邏輯：價格上升（$r_t > 0$）時，持好倉（$S_t = 1$）錄得正回報，持淡倉（$S_t = -1$）則變成虧損；價格下跌（$r_t < 0$）時反轉，持淡倉因負負得正而獲利，持好倉則虧錢。一行乘法已完整捕捉「倉位方向 × 價格方向」的四種組合，是整個實驗最精煉的一步：
# 摘錄自原片教學
df2['log_return_trend_follow'] = df2['signal'] * df2['log_return_buy_n_hold']
策略回報欄與 action 欄的計算。截圖出自原片（Liu Peng）
對照數據框可驗證：signal 為 1 的日子，兩欄回報完全相同；signal 為 −1 的日子，策略回報是基準回報的正負倒轉。值得留意這裏的隱含假設：當期訊號直接乘以當期回報，即假設訊號在期初已生效、建倉沒有延遲，亦未扣除任何交易成本。講者在片尾特別提醒，假設一變，財富曲線就會變。
第四步：由訊號推導交易動作
訊號欄記錄「應持甚麼倉」，但未交代「何時要操作」。交易動作欄補上這一塊——對訊號做差分：
$$ A_t = S_t - S_{t-1} $$三種情況：$A_t = 0$ 表示倉位不變、繼續持有，無需操作；$A_t = +2$ 表示由淡倉（−1）翻向好倉（+1），即平掉淡倉再買入；$A_t = -2$ 表示由好倉翻向淡倉，即平掉好倉再造淡。程式是 df2['action'] = df2['signal'].diff()，再用 value_counts() 統計：全年 217 日無需操作，+2 與 −2 各出現 7 次。換言之，全年只有 14 個交易動作，其餘時間都是靜坐持有——這正是機械式趨勢策略的節奏，與每日進出的短炒完全相反。
講者把兩條均線與交易動作畫在同一張圖：藍線是收市價，橙線是 SMA-3，綠線是 SMA-20；綠色向上三角標記買入點（action 為 +2），紅色向下三角標記賣出點（action 為 −2），用較大的標記尺寸突出顯示。圖中可見每個三角都落在均線交叉 Crossover 的位置：橙線由上向下穿過綠線，出現紅三角；由下向上穿過，出現綠三角。他同時指出背後的假設：平掉現有倉位與建立反向新倉視為同一瞬間完成，沒有考慮滑點、買賣差價與成交時間。
SMA-3 與 SMA-20 交叉時的買賣標記。截圖出自原片（Liu Peng）
第五步：財富曲線與期末回報
最後比較兩個策略的財富演變。把對數回報用指數函數轉回「一加簡單回報」形式，再取累積乘積：
$$ W_t = \prod_{k=1}^{t} e^{r_k} = \prod_{k=1}^{t} (1 + R_k) $$講者補充，這與「先對對數回報取累積和、再取指數」完全等價：$\exp(\sum_{k=1}^{t} r_k) = \prod_{k=1}^{t} e^{r_k}$，指數函數把加法變回乘法。財富曲線起點為 1，代表期初投入一元本金，之後每點數值即該元本金的演變。兩個策略各算一條，畫在同一張圖上：
# 摘錄自原片教學
plt.plot(np.exp(df2['log_return_buy_n_hold']).cumprod(), label='Buy-n-hold')
plt.plot(np.exp(df2['log_return_trend_follow']).cumprod(), label='Trend following')
plt.legend(loc=2)
趨勢跟隨明顯跑贏買入持有。截圖出自原片（Liu Peng）
圖中兩線同由 1.0 起步，但其後漸行漸遠：藍線（買入持有）大部分時間在 0.8 至 1.0 之間浮沉，年末跌至約 0.75；橙線（趨勢跟隨）則拾級而上，十一月曾觸及 1.9 附近，年末收於約 1.8。期末回報的計法是取累積乘積最後一值再減一：買入持有約 −25.2%，趨勢跟隨約 +80.4%（截至 2022 年末的回測數字）。原因不難理解——該年資產整體下跌，買入持有全程捱打，而趨勢跟隨大部分時間持淡倉，跌市反而成為利潤來源。
講者收結時再次強調：結果依賴多項簡化假設——無交易成本、訊號即時生效、可即時平倉兼轉倉、回報計算方式亦有多種選擇。改動任何一項，財富曲線都會不同。這個亮麗數字應視為教學示範，展示計算流程多於證明策略優越，切勿當作績效承諾。
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欣利克的看法
- 訊號與回報的時間對齊是常見誤區。片中寫法假設第 $t$ 期訊號賺取第 $t$ 期回報，即收市產生訊號、同一刻已建倉。真實操作最早也要下一交易日才成交，較嚴謹的做法是把訊號延後一期（
shift(1)）再乘回報，否則會引入前視偏差，回測結果必然偏樂觀。 - 全年只有 14 個動作，樣本太少。七次交叉就決定了整條財富曲線，任何一次交叉的時機稍有差池，結果都可能改寫。單一年份、單一資產的回測只能說明「這段歷史上行得通」，不足以推斷策略有穩定優勢。
- +80% 與 −25% 的對比要放回時空脈絡。2022 年是單邊跌市，恰好是趨勢跟隨最如魚得水的環境；換成橫行反覆的年份，雙均線策略往往被來回假訊號消磨。比較策略優劣，應看橫跨不同市況的多年數據，而非揀選對自己有利的時段。
- 成本與執行假設不可省略。每次翻倉涉及兩筆交易（平倉加開倉），加上滑點與借貨造淡成本，14 個動作累計的摩擦不容忽視。教學示範略去這些是為了聚焦概念，自行回測時應逐項加回。
- 對數回報轉財富曲線的數學值得記牢。$e^{\sum r_k} = \prod (1+R_k)$ 這個等價關係在之後的課堂與實作會反覆出現，理解它比拼湊程式碼更重要。
名詞解釋
- 趨勢跟隨 Trend Following：順着已形成的價格趨勢持倉的交易策略類型。
- 簡單移動平均線 SMA：將固定窗口內價格取算術平均的技術指標。
- 均線交叉 Crossover：兩條不同週期均線互相穿越所形成的交易訊號。
- 對數回報 Log Return：價格取對數後相減所得的回報度量，方便跨期累加。
- 財富指數 Wealth Index：以本金一元為起點、按回報累積乘積描繪的資產曲線。
- 回測 Backtesting：用歷史數據模擬策略表現的驗證方法。
常見問題 FAQ
為甚麼訊號欄會出現 0？
初始寫法先用 np.where 產生 1 與 0，第二行才把短均線低於長均線的情況改為 −1。若兩條均線剛好相等，兩個條件都不成立，訊號便保留為 0。實務上完全相等極少發生，0 主要是程式邏輯的預設值。
action 欄的 +2 和 −2 代表甚麼？
action 是訊號欄的差分。由 −1（淡倉）變 +1（好倉），差值是 +2，代表買入翻多；由 +1 變 −1，差值是 −2，代表賣出翻空；數值為 0 則代表倉位不變。片中的統計顯示全年 +2 與 −2 各出現 7 次。
財富曲線為甚麼用累積乘積而非累積和？
回報是乘法關係：本期資產等於上期資產乘以 $(1+R_t)$，所以跨期累積必須用乘積。對數回報的好處是可以先相加再取指數還原，兩條路徑數學上等價，程式上 np.exp(...).cumprod() 一步完成。
片中 +80% 的回報可以當真嗎？
不能。該數字來自 2022 年單一資產的教學示範，未計交易成本、滑點與執行延遲，且假設訊號即時生效。講者本人亦提醒假設一改結果就變，應視為概念演示而非績效參考。
原影片
本文整理自以下影片，版權屬原創作者所有，建議配合原片觀看：