協整 Cointegration 與配對交易：Engle-Granger、ADF 檢定與 Z-score 訊號生成
第 23 課・共 34 課
目錄
協整 Cointegration 是配對交易的統計地基：兩隻股票的價格各自漂移、看似無跡可尋，但只要它們的某個組合長期穩定，價差偏離後就有「被拉回來」的性質，均值回歸策略才可成立。本講是 Liu Peng 量化交易學術課第 10 週第二講，也是全課公式最密的一講——講者由非平穩的問題講起，完整走過 Engle-Granger 兩步檢定、ADF 單位根測試，最後把價差標準化成 Z-score，推導出配對交易的進出場規則。
學習重點
- 非平穩數據的致命傷：統計分析假設底層參數固定，而股票價格的均值、方差隨時間漂移，直接做統計推斷不可靠。
- 協整不等於相關：相關只代表同向移動；協整要求兩條非平穩序列存在一個平穩的線性組合，這才是價差會回歸的數學保證。
- 兩大檢定路線：Johansen 檢定直接尋找平穩線性組合；Engle-Granger 檢定先做 OLS 回歸，再對殘差（即價差）做 ADF 單位根檢定。
- Z-score 訊號生成：價差減均值、除以標準差，把「偏離多少」換算成「多少個標準差」，進場門檻 ±2、平倉區間 ±1。
- 假設檢定的方向：ADF 的虛無假設是「非平穩」，拒絕虛無假設才代表平穩、才代表協整——方向解讀錯，結論就完全相反。
詳細筆記
為何非平穩數據做不了統計分析
講者開宗明義：要研究的兩隻股票，其價格序列很可能是非平穩 non-stationary 的。非平穩的意思是序列的統計性質不是固定常數，而是隨時間不斷改變——今天的均值和一年後的均值可以完全不同。
這對統計分析是致命傷。統計推斷的基本假設，是底層參數（均值、方差等）固定不變，我們才能用樣本去估計它們。一旦參數本身在漂移，估計出來的數字就沒有穩定的對象可言，任何建基其上的分析都不可靠。所以對價格序列做任何策略之前，第一步必須處理平穩性問題——而協整正是「兩條非平穩序列如何變出一條平穩序列」的答案。
協整與相關是兩個不同概念
講者特別點出：相關 correlation 與協整是不同的概念。相關只量度兩條序列同向移動的程度——兩隻股票可以相關系數極高，卻各自越走越遠，價差永不收窄。協整的要求嚴格得多：它要求存在一個線性組合（例如價差），這個組合本身是平穩的、圍繞固定均值波動。只有後者才保證偏離是暫時的、會被拉回均衡，這正是配對交易賴以成立、而單靠相關篩選標的會踩坑的分別。
兩條檢定路線：Johansen 與 Engle-Granger
講者用一張流程圖交代全講框架：輸入是兩條非平穩的價格序列，輸出是一條平穩的價差序列，再由價差比較短期波動與長期均衡，生成進出場訊號。由輸入到輸出有兩條路線：
- Johansen 檢定：直接尋找兩個資產的線性組合 $z_t = y_t - \beta x_t$，令合成出來的序列 $z_t$ 平穩。輸入非平穩數據，輸出平穩時間序列；若這樣的組合存在，兩資產即協整。
- Engle-Granger 檢定：先在兩資產之間建立線性回歸模型，把回歸殘差識別為兩者的價差，再檢定殘差是否平穩。
兩條路線的共同終點，都是得到一條「理應平穩」的價差序列。講者補充，得出價差後還可用 ADF 一類檢定確認其平穩性：設定顯著性門檻，通過門檻即代表序列在特定統計顯著性下平穩。有了平穩價差，策略的本質就是比較短期波動與長期均衡關係——辨認出暫時性的市場波動，從而制定策略、生成具體的進場與出場點。
線性回歸：價差的數學來源
講者先補回歸基礎。線性回歸假設兩個變量之間存在固定的線性關係：
$$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \varepsilon_t$$其中 $y_t$ 是目標變量（dependent variable），可理解為第一隻股票的價格；$x_t$ 是自變量（independent variable），即第二隻股票的價格；$\beta_0$ 是截距、$\beta_1$ 是斜率，兩者決定那條回歸直線——這正是「線性」回歸得名的原因。關鍵在最後一項 $\varepsilon_t$：它是誤差項，代表線性模型解釋不了的一切，例如模型遺漏了的其他因素 $x_2$、$x_3$。誤差項同時用來衡量模型好壞——誤差越小，模型擬合越好。
把上式移項：
$$\varepsilon_t = y_t - (\beta_0 + \beta_1 x_t)$$講者點出核心：這條誤差序列就是價差 spread，也就是線性回歸模型的殘差。所以「計算價差」與「計算回歸殘差」是同一件事，交易訊號正是由這條序列生成。
Engle-Granger 兩步檢定
Engle-Granger 檢定是兩步過程：
- 估計回歸系數：以一隻股票為因變量、另一隻為自變量，用普通最小平方法（OLS）估計 $\beta_0$ 與 $\beta_1$，把一個變量對另一個變量做回歸。
- 計算殘差並檢定平穩性：殘差即真實值減預測值，$\hat{\varepsilon}_t = y_t - \hat{y}_t$。把殘差視為一條時間序列，用單位根檢定測試它是否平穩。
結論的判讀很乾脆：殘差平穩，兩隻股票協整；殘差不平穩，兩者不協整。協整成立，代表兩者的價差存在長期均衡關係，才可以依靠價差生成交易訊號。
單位根與 ADF 檢定
甚麼是單位根 unit root？講者的解釋是：自相關程度達到一——當前時點的值與上一時點的值幾乎完全相關。以一階自回歸模型表示：
$$x_t = \rho x_{t-1} + u_t$$當 $|\rho| = 1$，序列帶單位根，呈隨機遊走、非平穩；當 $|\rho| < 1$，舊值的影響會逐漸消退，序列平穩。檢定協整時，我們當然希望殘差沒有單位根。
實務上用增廣迪基—富勒檢定 ADF test，它把問題改寫成對差分的回歸：
$$\Delta x_t = \alpha + \gamma x_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \delta_i \, \Delta x_{t-i} + u_t$$虛無假設是 $\gamma = 0$（存在單位根、序列非平穩），對立假設是 $\gamma < 0$（平穩）。要特別記住這個方向：ADF 的虛無假設是「非平穩」，所以拒絕虛無假設——p 值夠小——才是平穩的證據，也才是兩資產協整的證據。
平穩序列與正態分佈
講者正式定義：平穩時間序列 stationary time series 是統計性質——均值、方差、不同時點之間的協方差——全部為常數、不隨時間改變的序列。無論截取哪段時間窗來看，計出來的均值一樣、方差一樣、協方差一樣。
平穩的價差大致服從正態分佈 normal distribution。正態分佈由兩個參數完全決定：均值 $\mu$ 與標準差 $\sigma$，其密度函數為：
$$f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$講者強調這只是正態分佈的定義，指數函數裏的 $\sigma^2$ 與前置因子的 $\sigma^2$ 互相呼應。數學背景到此齊備：價差平穩 → 大致正態分佈 → 偏離均值多遠可以用標準差量度。
Z-score：標準化與假設檢定
最後一步是把價差轉換成 Z 分數 z-score。本質上這只是一個標準化技術——不同價差各有尺度，標準化後才能放在同一尺度比較：
$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$原值減去均值、再除以標準差，答案就是「當日價差偏離均值多少個標準差」。經過這個變換，價差服從標準正態分佈。
標準正態分佈有個關鍵數字：$\pm 1.96$ 對應 95% 的機率，兩邊尾部各佔 5%。講者借機講解假設檢定的邏輯：若虛無假設為真，觀察值落入尾部屬於小概率事件——發生的機會極小——所以一旦落入，我們傾向認為虛無假設本身是錯的，予以拒絕，改為接受對立假設；放在協整檢定的語境，對立假設正是「兩個資產協整」。
由 Z-score 到配對交易訊號
講者示範的進出場規則以 Z-score 門檻制定：
- $z > 2$：價差高於均值兩個標準差以上。由於價差是「股票一減股票二」，差值過高意味股票一相對偏貴、長遠會回落，於是做空股票一、做多股票二。
- $z < -2$：反向操作，做多股票一、做空股票二。
- $-1 < z < 1$：價差回到相對正常範圍，兩邊持倉全部平掉。講者強調這是保護措施——股價急速移動可能逆倉而行，要在造成傷害之前離場，所以這條線同時兼任止蝕與鎖定利潤的功能，是出場訊號。
- 介乎 $\pm 1$ 與 $\pm 2$ 之間：維持原有持倉，繼續賺取暫時性市場波動帶來的回歸利潤。
整套邏輯環環相扣：非平穩的兩條價格 → 協整檢定得出平穩價差 → 正態分佈假設 → Z-score 量度偏離 → 門檻化為機械式進出場規則。
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欣利克的看法
- 協整與相關的分界是本講最值錢的一頁。部分實作教學只用相關系數篩選標的，但相關高只代表走勢同向，不代表價差有回歸力；兩隻股票可以長期高度相關而價差持續擴大。協整要求「組合平穩」這個強得多的條件，才是均值回歸的數學保證。學員宜記住：相關是必要參考，協整才是入場許可證。
- ADF 的假設方向最易解讀顛倒。一般檢定裏「拒絕虛無假設」代表發現效應，但 ADF 的虛無假設是「存在單位根、非平穩」——拒絕它才等於平穩、才等於協整。初學者常見誤區是見到 p 值大就以為「關係顯著」，其實剛好相反：p 值大代表無法拒絕非平穩，該組合不可用作均值回歸。寫程式呼叫現成函數時，務必先看清楚文件寫明虛無假設是哪一邊。
- 本講與 Saleh 實作課正好互補。第 8 課裏 Saleh 用一行
are_cointegrated完成檢定，明言「數學從簡」；第 18 課則記錄實盤改良。本講補上的正是那行函數背後的完整推導——回歸、殘差、單位根、假設檢定方向。建議兩邊對照：學術課給你判斷工具是否適用的能力，實作課給你看工具落地時的取捨。 - 協整關係會破裂，檢定亦會誤判，這是截至 2026 年中文獻的共識。協整用歷史樣本估計，公司基本面、行業結構改變可令關係失效，須定期重新檢定。檢定力（test power）問題同樣不容忽視：樣本太短時 ADF 檢定容易誤判——把非平穩誤判為平穩（假陽性）或反之，前者對配對交易尤其危險，因為它直接導致錯誤的入場許可。門檻 ±2 亦非金科玉律，只是講者的示範設定。
名詞解釋
- 協整 Cointegration：兩條非平穩序列存在平穩線性組合的性質，配對交易的統計基礎。
- 平穩性 Stationarity：時間序列的均值、方差、協方差不隨時間改變的性質。
- 單位根 Unit Root：自回歸系數等於一的非平穩特徵，序列呈隨機遊走。
- ADF 檢定 Augmented Dickey-Fuller Test：單位根檢定，虛無假設為非平穩，拒絕虛無假設才是平穩的證據。
- 恩格爾—格蘭傑檢定 Engle-Granger Test：兩步協整檢定——OLS 回歸後對殘差做單位根檢定。
- 約翰森檢定 Johansen Test：直接尋找平穩線性組合的協整檢定，可處理多個資產。
- 價差 Spread：兩資產價格的差距，即回歸殘差，配對交易的交易對象。
- Z 分數 Z-score：價差偏離均值的標準差倍數，用來生成進出場訊號。
- 均值回歸 Mean Reversion：價格偏離均衡後傾向回歸的現象，本策略的利潤來源。
- 統計套利 Statistical Arbitrage：以統計方法識別定價偏離並套取收斂利潤的策略家族。
- 配對交易 Pairs Trading：同時做多一隻、做空另一隻協整資產的市場中性策略。
常見問題 FAQ
協整同相關有甚麼分別？
相關只量度兩條序列同向移動的程度，協整則要求兩條非平穩序列存在一個平穩的線性組合。兩隻股票可以高度相關但價差持續擴大、永不收窄，這種組合做均值回歸會持續虧損；只有通過協整檢定，價差才有數學上的回歸保證。簡單說：相關看「方向」，協整看「差距會否回來」。
Engle-Granger 與 Johansen 檢定應該用哪個？
講者的框架是兩者並列：Engle-Granger 兩步法概念直觀、實作簡單，適合兩個資產的單一協整關係，也是本講詳細示範的方法；Johansen 檢定建基於向量自回歸框架，可同時處理多於兩個資產、估計多重協整關係，理論較完整但設定較複雜。只做傳統一對一配對交易，Engle-Granger 已足夠；涉及一籃子資產的組合，才需要 Johansen。
為甚麼要用 Z-score 而不直接用價差做訊號？
不同股票組合的價差各有尺度——甲組合的價差波動可能是 5 元，乙組合可能是 0.5 元——直接用原始價差設門檻，每個組合都要重新摸索，也無法互相比較。Z-score 把偏離換算成「多少個標準差」，所有組合統一用 ±2 進場、±1 出場這類同一套規則，訊號才有可比性，也方便程式化執行。
通過協整檢定是否代表配對交易必然賺錢？
不是。檢定只用歷史數據證明過去存在協整關係，不保證未來繼續成立——基本面改變可令關係破裂；檢定本身亦有誤判機會，樣本不足時可能把非平穩誤判為平穩。即使關係真實存在，持倉期間價差仍可繼續擴大，令浮虧加深。這也是講者在出場規則中加入 ±1 平倉保護線的原因，而嚴謹的做法是定期重新檢定協整關係。
原影片
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