幾何布朗運動 Geometric Brownian Motion
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幾何布朗運動 Geometric Brownian Motion（GBM）是量化金融最常用的股價模型，動態為 $dS_t = \mu S_t,dt + \sigma S_t,dW_t$。與算術布朗運動的分別在於漂移與擴散項都乘以當前價格 $S_t$——屬「乘法型」SDE，好處是價格永遠非負且回報率（而非價格變動）服從正態分佈，較貼近現實。經對數變換 $X_t = \ln S_t$ 與伊滕引理可解出閉式解 $S_t = S_0 \exp\left((\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t\right)$，即股價在任何時點服從對數正態分佈（Lognormal Distribution）。指數中的 $-\tfrac{1}{2}\sigma^2$ 正是伊滕修正項的痕跡。GBM 假設波動率常數，無法解釋市場的波動率歪斜，是 Black-Scholes 模型最常被詬病的一環。